Suite récurrente : monotonie, convergence, limite

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = 2u_n + 3{u_n + 2}. a) Montrer que pour tout n 0 : 0 u_n < 3. b) Montrer que (u_n) est croissante. c) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour a), utilise la récurrence. Pour b), étudie le signe de u_{n+1} - u_n. Pour c), résous = 2 + 3{ + 2}.

Correction

1. Étape 1 : **a) Initialisation** : u_0 = 0 [0 ; 3[. **Hérédité** : supposons 0 u_n < 3. u_{n+1} = 2u_n + 3{u_n + 2} 0 + 3{3 + 2} > 0 ✓ u_{n+1} < 3 2u_n + 3 < 3(u_n + 2) (2 - 3)u_n < 23 - 3 Or 2 - 3 > 0 et u_n < 3, donc (2-3)u_n < (2-3)3 = 23 - 3. ✓ Par récurrence, 0 u_n < 3 pour tout n.
2. Étape 2 : **b)** u_{n+1} - u_n = 2u_n + 3{u_n + 2} - u_n = 2u_n + 3 - u_n(u_n + 2){u_n + 2} = -u_n^2 + 3{u_n + 2} = 3 - u_n^2{u_n + 2} Comme u_n < 3, on a u_n^2 < 3, donc 3 - u_n^2 > 0 et u_n + 2 > 0. Ainsi u_{n+1} - u_n > 0 : la suite (u_n) est strictement croissante.
3. Étape 3 : **c)** (u_n) est croissante et majorée par 3. Par le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite .
4. Étape 4 : Par passage à la limite : = 2 + 3{ + 2}, soit ( + 2) = 2 + 3, d'où ^2 + 2 = 2 + 3, donc ^2 = 3. Comme 0, on obtient = 3.

   _{n +} u_n = 3