Suite récurrente : monotonie, convergence, limite

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = 2u_n + 3{u_n + 2}. a) Montrer que pour tout n 0 : 0 u_n < 3. b) Montrer que (u_n) est croissante. c) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour a), utilise la récurrence. Pour b), étudie le signe de u_{n+1} - u_n. Pour c), résous = 2 + 3{ + 2}.

Correction

1. Étape 1 : Le schéma des suites récurrentes, avec une difficulté supplémentaire : la borne est irrationnelle (3), donc les inégalités demandent un peu de soin. 👉 La méthode ne change pas : encadrer, puis monter la monotonie, puis conclure. Ce qui change, c'est que les manipulations font intervenir 3, dont il faut connaître le signe des expressions (2 - 3 > 0 car 3 1{,}73 < 2). ℹ️ La limite étant 3, cette suite fournit une méthode de calcul approché de 3 — c'est souvent l'intérêt caché de ces exercices.
2. Étape 2 : a) Posons P(n) : 0 u_n < 3. Initialisation : u_0 = 0, et 0 0 < 3 ✓ Hérédité, minorant. Supposons 0 u_n < 3. Alors le numérateur 2u_n + 3 3 > 0 et le dénominateur u_n + 2 2 > 0 : [formule]

   u_{n+1} > 0

3. Étape 3 : Hérédité, majorant. On veut u_{n+1} < 3. Comme u_n + 2 > 0, on peut multiplier sans changer le sens : 2u_n+3{u_n+2} < 3 2u_n + 3 < 3\,(u_n+2) 2u_n + 3 < 3\,u_n + 2 3 (2- 3)\,u_n < 2 3 - 3 Or 2 - 3 > 0 et u_n < 3 par hypothèse, donc (2- 3)\,u_n < (2- 3) 3 = 2 3 - 3 ✓ C'est exactement l'inégalité voulue. Par récurrence, 0 u_n < 3 pour tout n.

   0 u_n < 3 pour tout n

4. Étape 4 : b) La monotonie. On étudie le signe de la différence, mise au même dénominateur : u_{n+1} - u_n = 2u_n+3{u_n+2} - u_n = 2u_n + 3 - u_n(u_n+2){u_n+2} = 2u_n + 3 - u_n^2 - 2u_n{u_n+2} = 3 - u_n^2{u_n+2} D'après a), 0 u_n < 3, donc u_n^2 < 3, donc 3 - u_n^2 > 0. Et u_n + 2 > 0 : [formule] La suite est strictement croissante.

   u_{n+1} - u_n = 3-u_n^2{u_n+2} > 0

5. Étape 5 : c) (u_n) est croissante et majorée par 3 : par le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite . Maintenant seulement, on passe à la limite dans la relation de récurrence : = 2+3{+2} (+2) = 2+3 ^2 + 2 = 2 + 3 ^2 = 3 Donc = 3 ou = - 3. Comme u_n 0 pour tout n, la limite vérifie 0 : [formule] 👉 Le tri de la racine négative est une étape obligatoire, et elle s'appuie sur l'encadrement de a). C'est une troisième utilité de cette question — après le majorant pour la convergence et le signe pour la monotonie.

   u_n = 3

6. Étape 6 : L'erreur classique : Garder les deux racines de ^2 = 3, ou choisir 3 « parce que c'est le majorant ». Le tri se justifie par un fait démontré : u_n 0 pour tout n, donc 0 par passage à la limite. Ce n'est pas une évidence graphique, c'est une conséquence de la question a). 👉 Et l'équation du point fixe, encore une fois, ne donne la limite qu'après avoir prouvé qu'elle existe. À retenir : L'encadrement de la question a) sert trois fois : majorant pour la convergence, signe pour la monotonie, tri de la racine à la fin. 👉 Et une borne irrationnelle ne change rien à la méthode — seulement au soin des calculs (2- 3 > 0 se vérifie, ne se suppose pas).