Limites de suites et formes indéterminées

Énoncé

Déterminer les limites suivantes : a) u_n = 2n^3 - n + 4{5n^3 + 3n^2} b) v_n = n^2 + n - n c) w_n = 3^n + 2^n{3^n - 2^n}

Indice : a) Factorise par n^3. b) Multiplie par l'expression conjuguée. c) Divise numérateur et dénominateur par 3^n.

Correction

1. Étape 1 : Trois formes indéterminées, trois gestes — et chacun est caractéristique de sa forme. Le geste dépend de la forme : {} polynomial factoriser par le plus haut degré ; - avec une racine multiplier par la quantité conjuguée ; quotient d'exponentielles diviser par la plus grande base. 👉 Le second geste est le moins spontané : multiplier A - B par {A+B}{A+B} fait disparaître la racine du numérateur grâce à l'identité (a-b)(a+b) = a^2-b^2. C'est le seul moyen de lever cette indétermination-là.
2. Étape 2 : a) u_n = 2n^3 - n + 4{5n^3 + 3n^2} : forme {}. On factorise haut et bas par n^3 : u_n = n^3(2 - {1{n^2} + 4{n^3})}{n^3(5 + 3{n})} = 2 - {1{n^2} + 4{n^3}}{5 + 3{n}} Tous les termes en 1{n^k} tendent vers 0 : [formule] 👉 Degrés égaux rapport des coefficients dominants. Le contrôle se fait de tête.

   u_n = 2{5}

3. Étape 3 : b) v_n = n^2+n - n : forme - . On multiplie et divise par la quantité conjuguée n^2+n + n : v_n = ({n^2+n)^2 - n^2}{n^2+n + n} = n^2 + n - n^2{n^2+n + n} = n{n^2+n + n} L'indétermination a disparu du numérateur. On factorise maintenant par n au dénominateur, en notant n^2+n = n1+{1{n}} (licite car n > 0) : v_n = n{n(1+{1{n}} + 1)} = 1{1+{1{n}} + 1} [formule]

   v_n = 1{2}

4. Étape 4 : 👉 Le résultat mérite un regard. On soustrait n à n^2+n, deux quantités qui explosent, et il reste 1{2} — un nombre fini, et même pas nul. L'explication : n^2+n vaut à peu près n + 1{2} pour n grand. Vérification à n = 100 : 10100 100{,}4988, et l'écart à 100 vaut 0{,}4988 — déjà très proche de 1{2} ✓ C'est exactement ce que dit la limite, et c'est une bonne façon de contrôler un résultat de ce type : le tester sur une grande valeur.

   10100 - 100 0{,}4988 1{2}

5. Étape 5 : c) w_n = 3^n + 2^n{3^n - 2^n} : forme {}, mais avec des exponentielles. On divise haut et bas par 3^n, la plus grande base : w_n = 1 + ({2{3})^n}{1 - (2{3})^n} Comme |2{3}| < 1, on a (2{3})^n 0 : [formule] 👉 Diviser par la plus grande base est ce qui fait apparaître des raisons de valeur absolue inférieure à 1, donc des termes qui tendent vers 0. Diviser par 2^n ferait au contraire apparaître (3{2})^n +, et l'on n'aurait rien gagné.

   w_n = 1

6. Étape 6 : L'erreur classique : Conclure n^2+n - n 0 « parce que n^2+n n ». L'approximation est vraie au premier ordre, mais la différence qu'on calcule est précisément ce que cette approximation néglige. Écrire - est l'aveu qu'on ne peut pas conclure ainsi. 👉 La quantité conjuguée n'est pas une astuce de plus : c'est le geste pour cette forme, et il faut le reconnaître à la présence d'une racine. À retenir : Trois formes, trois gestes : factoriser (polynômes), conjuguer (racines), diviser par la plus grande base (exponentielles). 👉 Et contrôler un résultat surprenant en le testant sur une grande valeur : 10100 - 100 0{,}499 confirme le 1{2}.