Limites de suites et formes indéterminées

Énoncé

Déterminer les limites suivantes : a) u_n = 2n^3 - n + 4{5n^3 + 3n^2} b) v_n = n^2 + n - n c) w_n = 3^n + 2^n{3^n - 2^n}

Indice : a) Factorise par n^3. b) Multiplie par l'expression conjuguée. c) Divise numérateur et dénominateur par 3^n.

Correction

1. Étape 1 : **a)** Forme {}. On factorise par n^3 : u_n = n^3(2 - 1/n^2 + 4/n^3){n^3(5 + 3/n)} = 2 - 1/n^2 + 4/n^3{5 + 3/n} [n +]{} 2{5}

   u_n = 2{5}

2. Étape 2 : **b)** Forme + - . On multiplie par l'expression conjuguée : v_n = ({n^2+n)^2 - n^2}{n^2+n + n} = n^2 + n - n^2{n^2+n + n} = n{n^2+n + n}
3. Étape 3 : = n{n(1+1/n + 1)} = 1{1+1/n + 1} [n +]{} 1{1 + 1} = 1{2}

   v_n = 1{2}

4. Étape 4 : **c)** On divise par 3^n : w_n = 3^n + 2^n{3^n - 2^n} = 1 + (2/3)^n{1 - (2/3)^n} Or (2/3)^n 0, donc w_n 1 + 0{1 - 0} = 1.

   w_n = 1