Récurrence : inégalité et suite

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n + 3{2}. a) Montrer par récurrence que u_n 3 - 1{2^n} pour tout n 0. b) En déduire que _{n +} u_n 3.

Indice : Pour a), vérifie P(0). À l'étape d'hérédité, remplace u_n par la minoration dans u_{n+1} = u_n + 3{2}.

Correction

1. Étape 1 : **a) Initialisation** (n=0) : u_0 = 2 et 3 - 1{2^0} = 3 - 1 = 2. On a u_0 = 2 2. P(0) est vraie.
2. Étape 2 : **Hérédité** : supposons u_n 3 - 1{2^n} pour un n 0 fixé. u_{n+1} = u_n + 3{2} (3 - {1{2^n}) + 3}{2} = 6 - {1{2^n}}{2} = 3 - 1{2^{n+1}}
3. Étape 3 : Donc u_{n+1} 3 - 1{2^{n+1}}. P(n+1) est vraie. **Conclusion** : par récurrence, u_n 3 - 1{2^n} pour tout n 0.
4. Étape 4 : **b)** On a u_n 3 - 1{2^n} et _{n +} 1{2^n} = 0 (car |1/2| < 1). Donc _{n +} (3 - 1{2^n}) = 3. Par passage à la limite dans l'inégalité : u_n 3.

   _{n +} u_n 3