Récurrence : inégalité et suite

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n + 3{2}. a) Montrer par récurrence que u_n 3 - 1{2^n} pour tout n 0. b) En déduire que _{n +} u_n 3.

Indice : Pour a), vérifie P(0). À l'étape d'hérédité, remplace u_n par la minoration dans u_{n+1} = u_n + 3{2}.

Correction

1. Étape 1 : Une récurrence dont la propriété dépend de n des deux côtés — c'est ce qui la rend un peu plus délicate qu'une inégalité à borne constante. 👉 Le mécanisme reste le même : on part de u_{n+1} = u_n+3{2}, on minore u_n par l'hypothèse, et l'on vérifie que ce qu'on obtient est exactement la borne au rang n+1. ⚠️ La minoration est licite parce que la fonction x x+3{2} est croissante : minorer u_n minore u_{n+1}. Avec une fonction décroissante, l'inégalité se retournerait. ℹ️ Et la question b) emploie le passage à la limite dans une inégalité — un théorème à part, distinct de la récurrence.
2. Étape 2 : a) Posons P(n) : u_n 3 - 1{2^n}. Initialisation (n=0) : u_0 = 2, et 3 - 1{2^0} = 3 - 1 = 2 2 2 ✓ — l'inégalité est large, donc l'égalité convient. P(0) est vraie.

   u_0 = 2 3 - 1 = 2 \

3. Étape 3 : Hérédité. Soit n 0 fixé, avec u_n 3 - 1{2^n}. On minore dans la relation de récurrence : u_{n+1} = u_n + 3{2} (3 - {1{2^n}) + 3}{2} = 6 - {1{2^n}}{2} On sépare la fraction : = 6{2} - 1{2 2^n} = 3 - 1{2^{n+1}} 👉 Le calcul 1{2} 1{2^n} = 1{2^{n+1}} est ce qui fait « tomber » exactement sur la borne au rang n+1 — c'est la raison pour laquelle l'énoncé a choisi 1{2^n} et pas autre chose. P(n+1) est vraie. Conclusion : u_n 3 - 1{2^n} pour tout n 0.

   u_{n+1} 3 - 1{2^{n+1}}

4. Étape 4 : b) On dispose de u_n 3 - 1{2^n} pour tout n. Comme |1{2}| < 1, on a 1{2^n} 0, donc le membre de droite tend vers 3. Passage à la limite dans une inégalité : Si u_n a_n pour tout n, et si les deux suites convergent, alors u_n a_n. [formule] ⚠️ Les inégalités STRICTES ne se conservent pas au passage à la limite. Par exemple 1{n} > 0 pour tout n, et pourtant 1{n} = 0 — l'inégalité stricte est devenue large. C'est pourquoi on conclut ici avec un et non un >.

   u_n 3

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure de u_n 3 - 1{2^n} que (u_n) converge vers 3. L'inégalité donne une minoration de la limite, pas la limite. Rien dans cet exercice n'interdit à (u_n) de tendre vers 10, ou vers + — la question b) demande d'ailleurs seulement u_n 3. 👉 Pour obtenir la limite exacte, il faudrait la démarche complète : monotonie, majoration, convergence monotone, puis point fixe. C'est ce que font les exercices voisins. À retenir : Une minoration ne donne qu'une minoration de la limite. Pour la limite elle-même, il faut le schéma complet. 👉 Et les inégalités strictes deviennent larges au passage à la limite : le contre-exemple 1{n} > 0 le dit en une ligne.