Récurrence : somme des carrés

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n 1 : _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6}.

Indice : Pose P(n). Vérifie P(1), puis suppose P(n) et ajoute (n+1)^2 à la somme. Factorise le résultat.

Correction

1. Étape 1 : Même schéma qu'à la somme des entiers, avec une difficulté de plus : la factorisation finale n'est pas immédiate. 👉 Le point délicat est de reconnaître, dans l'expression obtenue, la formule au rang n+1. Le geste qui l'obtient : factoriser par (n+1), présent dans les deux termes, puis développer ce qui reste et le refactoriser. ⚠️ Il faut savoir à quoi on veut arriver avant de commencer : P(n+1) s'écrit (n+1)(n+2)(2n+3){6}. Écrire cette cible en premier évite de tourner en rond.
2. Étape 2 : Posons P(n) : _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6}, pour n 1. Initialisation (n=1) : à gauche _{k=1}^{1} k^2 = 1, à droite 1 2 3{6} = 6{6} = 1 ✓ P(1) est vraie.

   P(1) : 1 = 1 2 3{6} \

3. Étape 3 : Hérédité. Soit n 1 fixé, P(n) supposée vraie. On isole le dernier terme : _{k=1}^{n+1} k^2 = _{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = n(n+1)(2n+1){6} + (n+1)^2 Au même dénominateur : = n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2{6} On factorise par (n+1) : = (n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]{6}

   (n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]{6}

4. Étape 4 : On développe le crochet : n(2n+1) + 6(n+1) = 2n^2 + n + 6n + 6 = 2n^2 + 7n + 6 Il faut maintenant le factoriser, en visant la forme (n+2)(2n+3) de la cible. On vérifie en développant : (n+2)(2n+3) = 2n^2 + 3n + 4n + 6 = 2n^2 + 7n + 6 ✓ D'où [formule] C'est bien P(n+1), puisque (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1){6} = (n+1)(n+2)(2n+3){6}. Conclusion : par récurrence, la formule vaut pour tout n 1.

   _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher à factoriser 2n^2+7n+6 « au hasard », ou renoncer et laisser l'expression développée. Le raccourci : on connaît la cible. P(n+1) doit contenir (n+2) et (2n+3) — il suffit donc de vérifier que leur produit vaut 2n^2+7n+6, ce qui prend cinq secondes, au lieu de chercher un discriminant. 👉 C'est vrai de toutes les récurrences sur des formules : écrire P(n+1) AVANT de calculer transforme une factorisation en simple vérification. À retenir : Écrire la cible en premier. Une hérédité se conduit en sachant où l'on va. 👉 Et le schéma reste identique : isoler le dernier terme, appliquer l'hypothèse, mettre au même dénominateur, factoriser.