Récurrence : somme des carrés

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n 1 : _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6}.

Indice : Pose P(n). Vérifie P(1), puis suppose P(n) et ajoute (n+1)^2 à la somme. Factorise le résultat.

Correction

  1. Étape 1 : Posons P(n) : « _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6} ». **Initialisation** (n=1) : _{k=1}^{1} k^2 = 1 et 1 2 3{6} = 1. P(1) est vraie.
  2. Étape 2 : **Hérédité** : supposons P(n) vraie pour un n 1 fixé. Calculons _{k=1}^{n+1} k^2 : _{k=1}^{n+1} k^2 = _{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = n(n+1)(2n+1){6} + (n+1)^2
  3. Étape 3 : = n(n+1)(2n+1) + 6(n+1)^2{6} = (n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]{6} = (n+1)(2n^2 + 7n + 6){6} = (n+1)(n+2)(2n+3){6} C'est P(n+1). P(n+1) est vraie.
  4. Étape 4 : **Conclusion** : par le principe de récurrence, _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6} pour tout n 1.

    _{k=1}^{n} k^2 = n(n+1)(2n+1){6}