Récurrence et convergence : problème complet

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n^2 + 2{2u_n}. a) Montrer par récurrence que u_n > 0 pour tout n. b) Montrer que u_n^2 2 pour tout n 1. c) En déduire que (u_n) est décroissante à partir du rang 1. d) Montrer que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour b), calcule u_{n+1}^2 - 2. Pour c), étudie u_{n+1} - u_n. La limite vérifie = ^2 + 2{2}.

Correction

1. Étape 1 : Cette suite a un nom : c'est la méthode de Héron pour calculer 2, connue des Babyloniens et encore utilisée par les calculatrices. 👉 L'idée : si u est une approximation de 2, alors 2{u} en est une autre — de l'autre côté (si u est trop grand, 2{u} est trop petit). Leur moyenne est donc meilleure que les deux : [formule] ⚠️ La difficulté technique de l'exercice est en b) : on montre u_{n+1}^2 2 et non u_n^2 2 — d'où le décalage « à partir du rang 1 » dans les questions suivantes. Ce décalage n'est pas une coquette : rien ne garantit que u_0 choisi au hasard vérifie u_0^2 2.
2. Étape 2 : a) Posons P(n) : u_n > 0. Initialisation : u_0 = 2 > 0 ✓ Hérédité. Si u_n > 0, alors u_n^2 + 2 > 0 et 2u_n > 0, donc leur quotient est positif : u_{n+1} = u_n^2+2{2u_n} > 0 Par récurrence, u_n > 0 pour tout n. 👉 Cette question n'est pas décorative : elle garantit que la suite est bien définie (pas de division par zéro) et servira au signe des dénominateurs dans toute la suite.

   u_n > 0 pour tout n

3. Étape 3 : b) On calcule directement u_{n+1}^2 - 2 : u_{n+1}^2 - 2 = (u_n^2+2{2u_n})^2 - 2 = (u_n^2+2)^2 - 8u_n^2{4u_n^2} On développe le numérateur : (u_n^2+2)^2 - 8u_n^2 = u_n^4 + 4u_n^2 + 4 - 8u_n^2 = u_n^4 - 4u_n^2 + 4 C'est une identité remarquable : u_n^4 - 4u_n^2 + 4 = (u_n^2 - 2)^2. [formule] Un carré divisé par un carré : la quantité est positive quel que soit u_n. Donc u_{n+1}^2 2 pour tout n 0, c'est-à-dire u_n^2 2 pour tout n 1.

   u_{n+1}^2 - 2 = (u_n^2-2)^2{4u_n^2} 0

4. Étape 4 : 👉 Le décalage d'un rang mérite d'être compris. La formule établit une propriété de u_{n+1} à partir de n'importe quel u_n positif : dès le premier pas, la suite « saute » au-dessus de 2 et n'en redescend plus. Ici u_0 = 2 vérifie déjà u_0^2 = 4 2, mais la démonstration n'en a pas besoin — et c'est mieux ainsi : elle reste valable pour n'importe quel départ positif, y compris u_0 = 0{,}1. C'est ce qui fait la robustesse de la méthode de Héron : elle converge quel que soit le point de départ positif.

   u_n^2 2 pour tout n 1

5. Étape 5 : c) Pour n 1 : u_{n+1} - u_n = u_n^2+2{2u_n} - u_n = u_n^2 + 2 - 2u_n^2{2u_n} = 2 - u_n^2{2u_n} D'après b), u_n^2 2, donc 2 - u_n^2 0 ; et u_n > 0 d'après a). Donc [formule] La suite est décroissante à partir du rang 1. d) (u_n)_{n 1} est décroissante et minorée par 2 (car u_n^2 2 et u_n > 0). Elle converge donc vers , avec 2 > 0. Passage à la limite : = ^2+2{2} 2^2 = ^2+2 ^2 = 2, et > 0 : [formule]

   u_n = 2

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire « u_n^2 2 pour tout n 0 » alors que la démonstration ne donne que n 1. Elle porte sur u_{n+1}, donc sur les rangs 1, 2, 3… Le rang 0 n'est pas couvert — et si l'énoncé avait choisi u_0 = 0{,}5, l'affirmation serait fausse (0{,}25 < 2). Reporter fidèlement le domaine de validité d'un résultat fait partie de la démonstration. À retenir : Chercher une identité remarquable dans le numérateur : (u^2-2)^2 0 est ce qui donne toute la question b) sans aucun cas à distinguer. 👉 Et cette suite est la méthode de Héron : à partir de n'importe quel départ positif, elle calcule 2. Avec u_0 = 2 : 2, 1{,}5, 1{,}416, 1{,}4142157 — quatre décimales exactes en trois pas.