Récurrence et convergence : problème complet

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = u_n^2 + 2{2u_n}. a) Montrer par récurrence que u_n > 0 pour tout n. b) Montrer que u_n^2 2 pour tout n 1. c) En déduire que (u_n) est décroissante à partir du rang 1. d) Montrer que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour b), calcule u_{n+1}^2 - 2. Pour c), étudie u_{n+1} - u_n. La limite vérifie = ^2 + 2{2}.

Correction

1. Étape 1 : **a) Initialisation** : u_0 = 2 > 0. **Hérédité** : si u_n > 0, alors u_{n+1} = u_n^2 + 2{2u_n} > 0 car numérateur et dénominateur positifs. Par récurrence, u_n > 0 pour tout n.
2. Étape 2 : **b)** u_{n+1}^2 - 2 = (u_n^2 + 2{2u_n})^2 - 2 = (u_n^2+2)^2 - 8u_n^2{4u_n^2} = u_n^4 + 4u_n^2 + 4 - 8u_n^2{4u_n^2} = (u_n^2 - 2)^2{4u_n^2} 0. Donc u_{n+1}^2 2 pour tout n 0, et en particulier u_n^2 2 pour tout n 1.
3. Étape 3 : **c)** Pour n 1 : u_{n+1} - u_n = u_n^2 + 2{2u_n} - u_n = u_n^2 + 2 - 2u_n^2{2u_n} = 2 - u_n^2{2u_n}. Comme u_n^2 2 et u_n > 0, on a u_{n+1} - u_n 0. La suite est décroissante à partir du rang 1.
4. Étape 4 : **d)** (u_n) est décroissante (à partir du rang 1) et minorée par 2 > 0 (car u_n^2 2). Par le théorème de convergence monotone, elle converge vers > 0.
5. Étape 5 : Passage à la limite : = ^2 + 2{2}, soit 2^2 = ^2 + 2, donc ^2 = 2. Comme > 0, = 2.

   _{n +} u_n = 2