Suite récurrente et point fixe

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 4 et u_{n+1} = 2u_n + 3. a) Montrer que f(x) = 2x+3 admet un unique point fixe > 0. b) Montrer par récurrence que u_n 3 pour tout n. c) Montrer que (u_n) est décroissante. d) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Point fixe : résous x = 2x+3. Pour c), étudie le signe de u_{n+1} - u_n en utilisant f(u_n) - u_n.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = x 2x+3 = x 2x + 3 = x^2 (pour x 0) x^2 - 2x - 3 = 0 (x-3)(x+1) = 0. Comme x > 0, = 3.
2. Étape 2 : **b) Initialisation** : u_0 = 4 3. **Hérédité** : si u_n 3, alors u_{n+1} = 2u_n + 3 2 3 + 3 = 9 = 3. Par récurrence, u_n 3 pour tout n.
3. Étape 3 : **c)** u_{n+1} - u_n = 2u_n + 3 - u_n = 2u_n + 3 - u_n^2{2u_n+3 + u_n} = -(u_n^2 - 2u_n - 3){2u_n+3 + u_n} = -(u_n - 3)(u_n + 1){2u_n+3 + u_n}. Comme u_n 3, on a (u_n - 3)(u_n + 1) 0, donc u_{n+1} - u_n 0. La suite est décroissante.
4. Étape 4 : **d)** (u_n) est décroissante et minorée par 3 : par le théorème de convergence monotone, elle converge. Par passage à la limite, = f(), donc = 3.

   _{n +} u_n = 3