Suite récurrente et point fixe
Énoncé
Soit (u_n) définie par u_0 = 4 et u_{n+1} = 2u_n + 3.
a) Montrer que f(x) = 2x+3 admet un unique point fixe > 0.
b) Montrer par récurrence que u_n 3 pour tout n.
c) Montrer que (u_n) est décroissante.
d) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.
Indice : Point fixe : résous x = 2x+3. Pour c), étudie le signe de u_{n+1} - u_n en utilisant f(u_n) - u_n.
Correction
- Étape 1 : Un exercice qui commence par le point fixe — et l'ordre est instructif.
👉 Chercher le point fixe en premier n'est pas seulement un exercice de calcul : la valeur trouvée devient la borne de la récurrence de b), puis la limite de d). L'énoncé fait donc découvrir la réponse avant de la démontrer.
Point fixe :
est un point fixe de f lorsque f() = .
Si u_{n+1} = f(u_n) converge vers et que f est continue, alors est un point fixe.
⚠️ La réciproque est fausse : un point fixe existe toujours indépendamment de la suite. C'est pourquoi il faut quand même démontrer la convergence.
- Étape 2 : a) On résout f(x) = x, c'est-à-dire 2x+3 = x.
⚠️ Une racine carrée est positive, donc une solution doit vérifier x 0. On peut alors élever au carré, ce qui est licite entre deux quantités positives :
2x + 3 = x^2 x^2 - 2x - 3 = 0
= 4 + 12 = 16, = 4 :
x = 2+4{2} = 3 ou x = 2-4{2} = -1
Tri : -1 < 0, rejeté (une racine carrée ne vaut jamais -1). Sur ]0\,;+[ :
[formule]
Vérification : 2 3 + 3 = 9 = 3 ✓
= 3
- Étape 3 : b) Posons P(n) : u_n 3.
Initialisation : u_0 = 4 3 ✓
Hérédité. Supposons u_n 3. La fonction racine étant croissante, minorer l'intérieur minore la racine :
u_{n+1} = 2u_n+3 2 3 + 3 = 9 = 3
P(n+1) est vraie, donc u_n 3 pour tout n.
👉 Le point fixe est exactement le minorant : c'est systématique, et c'est pourquoi la question a) précède.
u_n 3 pour tout n
- Étape 4 : c) La monotonie. La différence contient une racine : on la traite par la quantité conjuguée.
u_{n+1} - u_n = 2u_n+3 - u_n = ({2u_n+3)^2 - u_n^2}{2u_n+3 + u_n} = 2u_n + 3 - u_n^2{2u_n+3+u_n}
Le numérateur est -(u_n^2 - 2u_n - 3), dont on connaît la factorisation depuis la question a) :
u_n^2 - 2u_n - 3 = (u_n-3)(u_n+1)
[formule]
Comme u_n 3 : u_n - 3 0 et u_n + 1 > 0, donc le numérateur est négatif ou nul ; le dénominateur est strictement positif. Donc u_{n+1} - u_n 0 : la suite est décroissante.
👉 La factorisation de a) resservie ici : ce n'est pas une coïncidence, c'est le même trinôme.
u_{n+1} - u_n 0
- Étape 5 : d) (u_n) est décroissante et minorée par 3 : par le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite .
f étant continue sur [3\,;+[, on passe à la limite :
= 2+3
C'est l'équation de la question a), dont l'unique solution positive est 3. Et 3 puisque u_n 3 pour tout n :
[formule]
ℹ️ Contrôle numérique : u_0 = 4, u_1 = 11 3{,}317, u_2 3{,}104, u_3 3{,}034 — la suite décroît bien vers 3 ✓
u_n = 3
- Étape 6 : L'erreur classique :
Élever au carré l'équation 2x+3 = x sans vérifier le signe, et garder -1.
Élever au carré n'est une équivalence qu'entre quantités de même signe. Ici 2x+3 0 impose x 0 : la solution -1 est parasite, créée par l'élévation au carré. Le contrôle est immédiat — 2 (-1)+3 = 1 = 1 -1.
À retenir :
Le point fixe donne le minorant (ou le majorant) de la récurrence : le chercher d'abord fait gagner tout le reste.
👉 Et devant une différence contenant une racine, la quantité conjuguée fait apparaître un trinôme — souvent celui-là même qu'on a factorisé au point fixe.