Suites adjacentes

Énoncé

On définit u_n = _{k=1}^{n} 1{k^2} et v_n = u_n + 1{n}. a) Montrer que (u_n) est croissante. b) Montrer que (v_n) est décroissante pour n 2. c) Montrer que _{n +}(v_n - u_n) = 0. d) Conclure sur la convergence de (u_n) et (v_n).

Indice : Pour b), calcule v_{n+1} - v_n et compare 1{(n+1)^2} avec 1{n} - 1{n+1}.

Correction

1. Étape 1 : Deux suites qui se rapprochent l'une de l'autre jusqu'à se rejoindre — c'est le mécanisme des suites adjacentes, et il donne la convergence sans qu'on sache calculer la limite. Suites adjacentes : Si (u_n) est croissante, (v_n) décroissante, et v_n - u_n 0, alors les deux convergent vers la même limite , et pour tout n : [formule] 👉 C'est le double encadrement qui fait la force du théorème : à chaque rang, on connaît un minorant et un majorant de la limite. La suite (v_n) n'est donc pas un artifice — c'est elle qui donne la précision. ⚠️ Les trois conditions sont nécessaires. Deux suites qui se rapprochent sans être monotones peuvent parfaitement diverger toutes les deux.
2. Étape 2 : a) u_n = _{k=1}^{n} 1{k^2}. On isole le dernier terme : u_{n+1} - u_n = 1{(n+1)^2} > 0 (u_n) est donc strictement croissante — ce qui est visible dès l'écriture : on ajoute à chaque rang un terme positif.

   u_{n+1} - u_n = 1{(n+1)^2} > 0

3. Étape 3 : b) v_n = u_n + 1{n}. On calcule la différence en séparant les deux parties : v_{n+1} - v_n = (u_{n+1 - u_n)}_{1{(n+1)^2}} + 1{n+1} - 1{n} Or 1{n+1} - 1{n} = n - (n+1){n(n+1)} = -1{n(n+1)}, donc v_{n+1} - v_n = 1{(n+1)^2} - 1{n(n+1)} Au même dénominateur n(n+1)^2 : = n - (n+1){n(n+1)^2} = -1{n(n+1)^2} < 0 (v_n) est donc décroissante.

   v_{n+1} - v_n = -1{n(n+1)^2} < 0

4. Étape 4 : c) La différence est immédiate, par définition de v_n : [formule] d) Les trois conditions sont réunies : (u_n) croissante, (v_n) décroissante, v_n - u_n 0. Les suites sont adjacentes, donc elles convergent vers une même limite , avec [formule] 👉 C'est un résultat de calcul numérique, pas seulement théorique : à n = 100, on obtient 1{,}6350 1{,}6450. On connaît donc à 10^{-2} près sans jamais l'avoir calculée. ℹ️ Cette limite vaut ^2{6} 1{,}6449 — un résultat célèbre, démontré par Euler en 1735, et qui est hors programme : rien dans l'exercice ne permet de la trouver, et c'est précisément pour cela qu'on passe par les suites adjacentes.

   u_n v_n \ ; = ^2{6} 1{,}645

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « les suites convergent » en ne vérifiant que v_n - u_n 0. Deux suites peuvent se rapprocher indéfiniment sans converger : u_n = n et v_n = n + 1{n} vérifient v_n - u_n 0 et tendent toutes deux vers +. Ce sont les monotonies qui empêchent cela. 👉 Vérifier les trois conditions, et les écrire séparément. À retenir : Suites adjacentes = croissante + décroissante + écart qui tend vers 0, et l'on obtient en prime l'encadrement u_n v_n. 👉 C'est l'outil pour une limite qu'on ne sait pas calculer : il donne son existence et un encadrement aussi fin qu'on veut.