Suites adjacentes

Énoncé

On définit u_n = _{k=1}^{n} 1{k^2} et v_n = u_n + 1{n}. a) Montrer que (u_n) est croissante. b) Montrer que (v_n) est décroissante pour n 2. c) Montrer que _{n +}(v_n - u_n) = 0. d) Conclure sur la convergence de (u_n) et (v_n).

Indice : Pour b), calcule v_{n+1} - v_n et compare 1{(n+1)^2} avec 1{n} - 1{n+1}.

Correction

1. Étape 1 : **a)** u_{n+1} - u_n = 1{(n+1)^2} > 0. Donc (u_n) est strictement croissante.
2. Étape 2 : **b)** v_{n+1} - v_n = 1{(n+1)^2} + 1{n+1} - 1{n} = 1{(n+1)^2} - 1{n(n+1)} = n - (n+1){n(n+1)^2} = -1{n(n+1)^2} < 0. Donc (v_n) est décroissante.
3. Étape 3 : **c)** v_n - u_n = 1{n} [n +]{} 0.
4. Étape 4 : **d)** (u_n) croissante, (v_n) décroissante et v_n - u_n 0 : les suites sont adjacentes. Par le théorème des suites adjacentes, elles convergent vers la même limite avec u_n v_n pour tout n.