Convergence monotone d'une suite récurrente

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = 1{2}u_n + 1. a) Montrer par récurrence que 0 u_n 2 pour tout n. b) Montrer que (u_n) est croissante. c) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour b), étudie le signe de u_{n+1} - u_n. Pour c), utilise le théorème de convergence monotone et résous = 1{2} + 1.

Correction

1. Étape 1 : Le schéma standard des suites récurrentes, en trois temps qui s'enchaînent nécessairement. Étudier une suite récurrente u_{n+1} = f(u_n) : 1. encadrer par récurrence — c'est ce qui donnera le majorant ; 2. monter la monotonie — signe de u_{n+1} - u_n ; 3. convergence monotone, puis résoudre l'équation du point fixe. ⚠️ L'ordre n'est pas négociable : c'est l'encadrement de l'étape 1 qui permet de conclure sur le signe à l'étape 2, et les deux ensemble qui donnent la convergence. 👉 Et un point de logique souvent mal compris : le passage à la limite dans u_{n+1} = f(u_n) ne prouve pas la convergence — il donne la valeur de la limite une fois qu'on sait qu'elle existe. Sans l'étape 3, l'équation du point fixe ne dit rien.
2. Étape 2 : a) Posons P(n) : 0 u_n 2. Initialisation : u_0 = 0, et 0 0 2 ✓ Hérédité. Supposons 0 u_n 2. Comme u_{n+1} = 1{2}u_n + 1 et que la fonction x 1{2}x+1 est croissante (coefficient 1{2} > 0), on peut appliquer l'encadrement directement : minorant : u_{n+1} 1{2} 0 + 1 = 1 0 ✓ majorant : u_{n+1} 1{2} 2 + 1 = 2 ✓ Par récurrence, 0 u_n 2 pour tout n.

   0 u_n 2 pour tout n

3. Étape 3 : b) La monotonie. On étudie le signe de la différence : u_{n+1} - u_n = 1{2}u_n + 1 - u_n = 1 - 1{2}u_n = 2 - u_n{2} D'après a), u_n 2, donc 2 - u_n 0 : [formule] La suite (u_n) est croissante. 👉 C'est ici que l'étape a) sert : sans le majorant u_n 2, on ne saurait rien du signe de 2 - u_n, donc rien de la monotonie.

   u_{n+1} - u_n = 2-u_n{2} 0

4. Étape 4 : c) (u_n) est croissante et majorée par 2. Le théorème de convergence monotone s'applique : Convergence monotone : Toute suite croissante et majorée converge. (De même, décroissante et minorée.) Donc (u_n) converge vers une limite . Maintenant seulement, on peut passer à la limite dans la relation de récurrence. Comme u_n et u_{n+1} (c'est la même suite, décalée d'un rang) : = 1{2} + 1 1{2} = 1 = 2 [formule] ℹ️ La limite est exactement le majorant trouvé en a) — ce n'est pas un hasard : 2 est le point fixe de x 1{2}x+1, et c'est pour cela qu'il majorait la suite.

   u_n = 2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Résoudre = 1{2} + 1 d'emblée et annoncer « la limite est 2 ». Ce calcul suppose que la limite existe. Une suite divergente vérifierait la même équation formelle sans avoir de limite du tout. Le théorème de convergence monotone doit venir AVANT. 👉 Le contre-exemple qui le montre : u_{n+1} = 2u_n avec u_0 = 1. L'équation du point fixe donne = 2, donc = 0 — alors que la suite vaut 2^n et tend vers +. Le calcul est le même, la conclusion absurde. À retenir : Encadrement monotonie convergence point fixe. Chaque étape sert à la suivante. 👉 Et le point fixe donne la valeur de la limite, jamais son existence.