Convergence monotone d'une suite récurrente

Énoncé

Soit (u_n) définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = 1{2}u_n + 1. a) Montrer par récurrence que 0 u_n 2 pour tout n. b) Montrer que (u_n) est croissante. c) En déduire que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Pour b), étudie le signe de u_{n+1} - u_n. Pour c), utilise le théorème de convergence monotone et résous = 1{2} + 1.

Correction

1. Étape 1 : **a) Initialisation** : u_0 = 0 [0 ; 2]. **Hérédité** : si 0 u_n 2, alors u_{n+1} = 1{2}u_n + 1 1{2}(0) + 1 = 1 0 et u_{n+1} 1{2}(2) + 1 = 2. Par récurrence, 0 u_n 2 pour tout n.
2. Étape 2 : **b)** u_{n+1} - u_n = 1{2}u_n + 1 - u_n = 1 - 1{2}u_n = 2 - u_n{2}. Comme u_n 2, on a u_{n+1} - u_n 0. Donc (u_n) est croissante.
3. Étape 3 : **c)** (u_n) est croissante et majorée par 2 : par le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite .
4. Étape 4 : Par passage à la limite : = 1{2} + 1, soit 1{2} = 1, d'où = 2.

   _{n +} u_n = 2