Théorème des gendarmes

Énoncé

Soit u_n = (n){n^2} pour n 1. Montrer que (u_n) converge et déterminer sa limite.

Indice : Encadre (n) entre -1 et 1.

Correction

1. Étape 1 : Le théorème des gendarmes sert exactement dans ce cas : une suite qu'on ne sait pas calculer mais qu'on sait encadrer. Théorème des gendarmes : Si a_n u_n b_n à partir d'un certain rang, et si a_n et b_n (la même limite), alors u_n . 👉 Le nom dit tout : deux gendarmes encadrent le prisonnier et l'emmènent où ils vont. S'ils vont au même endroit, il n'a pas le choix. ⚠️ Ici (n) n'a aucune limite : il oscille indéfiniment entre -1 et 1 sans jamais se stabiliser. On ne peut donc pas calculer u_n terme à terme — mais on peut borner le cosinus, et c'est tout ce dont on a besoin.
2. Étape 2 : L'encadrement. Pour tout entier n : [formule] Comme n 1, on a n^2 > 0 : diviser par n^2 conserve le sens des inégalités. [formule] ⚠️ Cette précaution n'est pas rhétorique : diviser par une quantité négative retournerait les deux inégalités et l'encadrement serait faux.

   -1{n^2} u_n 1{n^2}

3. Étape 3 : Les deux gendarmes ont la même limite : _{n +} -1{n^2} = 0 et _{n +} 1{n^2} = 0 Le théorème des gendarmes s'applique : [formule] La suite (u_n) converge, et sa limite est 0. 👉 Remarquer que le numérateur, lui, ne converge pas du tout. C'est le dénominateur n^2 qui écrase l'oscillation : borné divisé par quelque chose qui explose donne 0, quelle que soit la façon dont le numérateur s'agite.

   u_n = 0

4. Étape 4 : L'erreur classique : Écrire « (n) quelque chose », ou pire, « (n) 0 ». (n) n'a pas de limite : la suite (1), (2), (3) oscille sans jamais se stabiliser. Vouloir lui en attribuer une, c'est appliquer la règle du produit là où elle ne s'applique pas. 👉 C'est précisément pour cela que le théorème des gendarmes existe : il permet de conclure sans jamais calculer la limite du numérateur. À retenir : Devant un numérateur borné (cosinus, sinus, (-1)^n) sur un dénominateur qui tend vers l'infini : c'est un cas de gendarmes, et la limite est 0. 👉 Et vérifier que les deux gendarmes ont bien la même limite : c'est là que le théorème se casse si l'encadrement est trop large.