Limites de suites classiques

Énoncé

Déterminer la limite de chaque suite : a) u_n = 3n^2 + 1{n^2 - 5} b) v_n = n + 1{n^2} c) w_n = (2{3})^n

Indice : Factorise par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Trois limites, trois familles — et chacune a son geste propre. Reconnaître la famille : Quotient de polynômes factoriser par le terme de plus haut degré ; somme de termes simples traiter chaque terme séparément ; suite géométrique q^n comparer |q| à 1. Limite d'une suite géométrique : [formule] 👉 Et la limite d'un quotient de polynômes ne dépend que des termes de plus haut degré : c'est ce que la factorisation rend visible.
2. Étape 2 : a) u_n = 3n^2+1{n^2-5} : forme {}, indéterminée. On factorise haut et bas par n^2, le plus haut degré : u_n = n^2(3 + {1{n^2})}{n^2(1 - 5{n^2})} = 3 + {1{n^2}}{1 - 5{n^2}} Comme 1{n^2} 0, le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers 1 : [formule] 👉 Contrôle immédiat : le rapport des coefficients dominants, 3{1} = 3. C'est toujours la réponse quand les degrés sont égaux.

   u_n = 3

3. Étape 3 : b) v_n = n+1{n^2}. Ici il est plus simple de séparer les termes : v_n = n{n^2} + 1{n^2} = 1{n} + 1{n^2} Les deux tendent vers 0 : [formule] 👉 Le degré du bas (2) dépasse celui du haut (1) : le résultat était prévisible. Quand le dénominateur l'emporte, la limite est 0.

   v_n = 0

4. Étape 4 : c) w_n = (2{3})^n : suite géométrique de raison q = 2{3}. |2{3}| = 2{3} < 1, donc [formule] 👉 La condition porte sur |q|, pas sur q. Une raison négative comme q = -2{3} donnerait une suite qui alterne de signe en tendant vers 0 — la valeur absolue est ce qui permet de traiter les deux cas d'un coup.

   |2{3}| < 1 w_n = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure sur un quotient de polynômes sans factoriser, en « simplifiant » les termes de plus haut degré. Écrire 3n^2+1{n^2-5} 3n^2{n^2} = 3 donne ici la bonne réponse, mais c'est une intuition, pas une démonstration — et elle échoue dès que les degrés diffèrent d'une façon moins évidente. La factorisation, elle, fonctionne toujours et s'écrit en une ligne. À retenir : Trois familles, trois gestes. Pour un quotient de polynômes, la limite est celle du rapport des termes dominants : degrés égaux rapport des coefficients ; bas plus fort 0 ; haut plus fort l'infini. 👉 Et pour q^n : c'est |q| qu'on compare à 1.