Récurrence : inégalité avec puissances de 2

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n 3 : 2^n > 2n + 1.

Indice : Vérifie pour n = 3. À l'étape d'hérédité, utilise 2^{n+1} = 2 2^n > 2(2n+1).

Correction

1. Étape 1 : **Initialisation** (n=3) : 2^3 = 8 et 2 3 + 1 = 7. On a bien 8 > 7. P(3) est vraie.
2. Étape 2 : **Hérédité** : supposons 2^n > 2n + 1 pour un n 3 fixé.
3. Étape 3 : 2^{n+1} = 2 2^n > 2(2n+1) = 4n + 2. Or 4n + 2 2(n+1) + 1 = 2n + 3 car 4n + 2 - 2n - 3 = 2n - 1 5 > 0 pour n 3.
4. Étape 4 : Donc 2^{n+1} > 2(n+1) + 1. P(n+1) est vraie. **Conclusion** : par récurrence, 2^n > 2n + 1 pour tout n 3.