Récurrence : inégalité avec puissances de 2

Énoncé

Montrer par récurrence que pour tout n 3 : 2^n > 2n + 1.

Indice : Vérifie pour n = 3. À l'étape d'hérédité, utilise 2^{n+1} = 2 2^n > 2(2n+1).

Correction

1. Étape 1 : Une récurrence sur une inégalité, et c'est ce qui la rend différente d'une récurrence sur une égalité. 👉 Avec une égalité, on transforme jusqu'à tomber sur le résultat voulu. Avec une inégalité, on enchaîne des minorations — et il faut vérifier à la fin qu'on a bien atteint la borne visée, pas une borne trop faible. ⚠️ Ici le premier rang est n = 3, pas 0. Ce n'est pas un détail : l'inégalité est fausse avant. Pour n = 2, 2^2 = 4 et 2 2 + 1 = 5 — donc 4 > 5 est faux. Le point de départ d'une récurrence se lit dans l'énoncé et jamais par habitude.
2. Étape 2 : Posons P(n) : 2^n > 2n+1, pour n 3. Initialisation (n = 3) : 2^3 = 8 et 2 3 + 1 = 7 8 > 7 ✓, donc P(3) est vraie.

   P(3) : 8 > 7 \

3. Étape 3 : Hérédité. Soit n 3 fixé, et supposons 2^n > 2n+1. Le geste de départ : faire apparaître 2^n dans 2^{n+1}. 2^{n+1} = 2 2^n On applique l'hypothèse — licite car on multiplie par 2, qui est positif, donc le sens de l'inégalité est conservé : [formule]

   2^{n+1} > 4n+2

4. Étape 4 : On a obtenu 2^{n+1} > 4n+2, mais ce n'est pas encore P(n+1) : il faudrait 2^{n+1} > 2(n+1)+1 = 2n+3. Il reste donc à montrer que 4n+2 2n+3 : 4n+2 - (2n+3) = 2n - 1 Pour n 3 : 2n - 1 5 > 0 ✓ En enchaînant : 2^{n+1} > 4n+2 2n+3, donc [formule] P(n+1) est vraie. Conclusion : par récurrence, 2^n > 2n+1 pour tout n 3.

   2^{n+1} > 4n+2 2n+3 = 2(n+1)+1

5. Étape 5 : L'erreur classique : S'arrêter à 2^{n+1} > 4n+2 et déclarer l'hérédité démontrée. 4n+2 n'est pas 2(n+1)+1. La minoration obtenue est plus forte que celle demandée — c'est une bonne nouvelle, mais il faut l'écrire : 4n+2 2n+3, avec sa justification. 👉 Le contrôle : à la fin de l'hérédité, relire l'énoncé de P(n+1) et vérifier qu'on a obtenu exactement cette phrase-là, ni plus ni moins. À retenir : Sur une inégalité, l'hérédité enchaîne des minorations : A > B C donne A > C. 👉 Et le rang initial se lit dans l'énoncé : ici l'inégalité est fausse pour n = 2, donc partir de 0 rendrait la récurrence impossible à initialiser.