Étude complète avec intégrale

Énoncé

Pour tout entier n 0, on pose I_n = _0^1 x^n\,e^x\,dx. a) Calculer I_0. b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n 1 : I_n = e - n\,I_{n-1}. c) En déduire les valeurs de I_1 et I_2. d) Montrer que pour tout n 0 : 0 I_n e et en déduire _{n +} I_n{n!}.

Indice : Pour b), pose u(x) = x^n et v'(x) = e^x. Pour d), encadre e^x sur [0;1] et utilise la positivité.

Correction

1. Étape 1 : **a)** I_0 = _0^1 e^x\,dx = [e^x]_0^1 = e - 1.

   I_0 = e - 1

2. Étape 2 : **b)** On pose u(x) = x^n u'(x) = nx^{n-1} et v'(x) = e^x v(x) = e^x. I_n = [x^n e^x]_0^1 - _0^1 nx^{n-1}e^x\,dx = (1^n e - 0) - n_0^1 x^{n-1}e^x\,dx = e - nI_{n-1}.
3. Étape 3 : **c)** I_1 = e - 1 I_0 = e - (e - 1) = 1. I_2 = e - 2 I_1 = e - 2.

   I_1 = 1 ; I_2 = e - 2

4. Étape 4 : **d)** Sur [0 ; 1], 0 x^n 1 et 1 e^x e, donc 0 x^n e^x e. En intégrant : 0 I_n _0^1 e\,dx = e. De plus I_n _0^1 e x^n\,dx = e{n+1}, donc 0 I_n{n!} e{(n+1)!} 0. Par le théorème des gendarmes : _{n +} I_n{n!} = 0.

   _{n +} I_n{n!} = 0