Étude complète avec intégrale

Énoncé

Pour tout entier n 0, on pose I_n = _0^1 x^n\,e^x\,dx. a) Calculer I_0. b) À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n 1 : I_n = e - n\,I_{n-1}. c) En déduire les valeurs de I_1 et I_2. d) Montrer que pour tout n 0 : 0 I_n e et en déduire _{n +} I_n{n!}.

Indice : Pour b), pose u(x) = x^n et v'(x) = e^x. Pour d), encadre e^x sur [0;1] et utilise la positivité.

Correction

1. Étape 1 : Une suite d'intégrales : chaque I_n est un nombre, et l'on cherche une relation entre eux plutôt que de les calculer un par un. Relation de récurrence par IPP : On applique l'intégration par parties à I_n, en choisissant u = x^n — qui perd un degré en dérivant. Il apparaît alors une intégrale du même type, mais d'indice n-1 : c'est la relation de récurrence. 👉 C'est le procédé standard pour ce genre de suite, et il vaut d'être reconnu : dès qu'on voit x^n (quelque chose), l'IPP avec u = x^n fait descendre l'indice. ⚠️ Et la question d) change complètement de nature : elle demande un encadrement, donc des inégalités et le théorème des gendarmes — pas un calcul exact.
2. Étape 2 : a) Pour n = 0, x^0 = 1 : I_0 = _0^1 e^x\,dx = [e^x]_0^1 = e - 1 [formule]

   I_0 = e - 1

3. Étape 3 : b) IPP avec u = x^n et v' = e^x : u' = n\,x^{n-1} et v = e^x I_n = [x^n e^x]_0^1 - _0^1 n\,x^{n-1}e^x\,dx Le crochet : 1^n e^1 - 0^n e^0 = e - 0 = e (pour n 1, 0^n = 0). Et la constante n sort de l'intégrale : [formule] 👉 L'intégrale restante EST I_{n-1} — c'est ce qui fait toute la valeur du procédé : on n'a rien à calculer, seulement à reconnaître.

   I_n = e - n\,I_{n-1}

4. Étape 4 : c) On applique la relation en cascade, à partir de I_0 = e-1 : I_1 = e - 1 I_0 = e - (e-1) = e - e + 1 = 1 I_2 = e - 2 I_1 = e - 2 1 = e - 2 0{,}718 [formule] ℹ️ On retrouve I_1 = 1, qui est exactement le résultat de l'exercice 19007 a) — c'est la même intégrale _0^1 xe^x dx, obtenue ici sans refaire l'IPP. 👉 Et la suite décroît : 1{,}718 puis 1 puis 0{,}718. C'est logique — sur [0\,;1], x^n diminue quand n augmente, donc x^ne^x aussi.

   I_1 = 1 \ ; I_2 = e-2

5. Étape 5 : d) L'encadrement. Sur [0\,;1] : 0 x^n 1 et 1 e^x e, donc 0 x^n e^x e L'intégration conserve l'ordre (les bornes étant dans le bon sens), d'où 0 I_n _0^1 e\,dx = e Mais cette majoration est trop grossière pour la limite. On l'affine en gardant le x^n : x^n e^x e\,x^n, donc I_n e_0^1 x^n dx = e [x^{n+1}{n+1}]_0^1 = e{n+1}

   0 I_n e{n+1}

6. Étape 6 : On divise l'encadrement par n!, qui est strictement positif — le sens des inégalités est donc conservé : [formule] Or (n+1)! +, donc le majorant tend vers 0. Par le théorème des gendarmes : [formule] 👉 Pourquoi la première majoration ne suffisait pas : elle donnait I_n{n!} e{n!}, ce qui tend aussi vers 0 — donc elle marchait déjà ! L'affinement n'était pas nécessaire ici, mais il donne une majoration bien meilleure, et c'est le réflexe à prendre : garder le x^n coûte une ligne et gagne un ordre de grandeur. L'erreur classique : Appliquer les gendarmes sans vérifier que les deux bornes tendent vers la même limite. Ici le minorant est 0 (constant) et le majorant tend vers 0 : les deux coïncident, donc le théorème s'applique. Avec un majorant tendant vers 1, on ne pourrait rien conclure. À retenir : Une IPP avec u = x^n fait descendre l'indice d'une suite d'intégrales — c'est le procédé standard. 👉 Et pour une limite, encadrer plutôt que calculer : on ne connaît pas I_n en général, mais on sait l'encadrer, et cela suffit.