Calcul d'aire avec parties positives et négatives

Énoncé

Soit f(x) = x^3 - 3x. a) Résoudre f(x) = 0 et étudier le signe de f sur [-2 ; 2]. b) Calculer l'aire A du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = -2 et x = 2. c) Calculer _{-2}^{2} f(x)\,dx. Comparer avec A et commenter.

Indice : Factorise f(x) = x(x^2 - 3) = x(x-3)(x+3). Attention : f change de signe, il faut découper en sous-intervalles.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = x(x^2 - 3) = 0 x = 0, x = 3 ou x = -3. Signe de f : f > 0 sur [-2 ; -3[ (car les trois facteurs sont négatifs : produit négatif... non, recalculons). f(x) = x(x-3)(x+3). Tableau de signes : f 0 sur [-3 ; 0] et [3 ; 2] ; f 0 sur [-2 ; -3] et [0 ; 3].
2. Étape 2 : **b)** Une primitive de f est F(x) = x^4{4} - 3x^2{2}. Par la symétrie f(-x) = -f(x) (fonction impaire), on a par symétrie : A = 2(-_0^{3} f(x)\,dx + _{3}^{2} f(x)\,dx).
3. Étape 3 : _0^{3} f(x)\,dx = F(3) - F(0) = 9{4} - 9{2} = -9{4}. _{3}^{2} f(x)\,dx = F(2) - F(3) = (4 - 6) - (-9{4}) = -2 + 9{4} = 1{4}.
4. Étape 4 : A = 2(-(-9{4}) + 1{4}) = 2(9{4} + 1{4}) = 2 10{4} = 5 u.a.

   A = 5 u.a.

5. Étape 5 : **c)** f est impaire, donc _{-2}^{2} f(x)\,dx = 0. Cette intégrale vaut 0 car les aires positives et négatives se compensent, alors que A = 5 0. Cela montre que **l'intégrale n'est pas l'aire** quand f change de signe.