Calcul d'aire avec parties positives et négatives
Énoncé
Soit f(x) = x^3 - 3x.
a) Résoudre f(x) = 0 et étudier le signe de f sur [-2 ; 2].
b) Calculer l'aire A du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = -2 et x = 2.
c) Calculer _{-2}^{2} f(x)\,dx. Comparer avec A et commenter.
Indice : Factorise f(x) = x(x^2 - 3) = x(x-3)(x+3). Attention : f change de signe, il faut découper en sous-intervalles.
Correction
- Étape 1 : L'exercice qui démontre que l'intégrale n'est pas l'aire — et qui le fait de la façon la plus spectaculaire : ici l'intégrale vaut zéro alors que l'aire vaut 5.
👉 Le cas est extrême parce que f est impaire (f(-x) = -f(x)) et l'intervalle symétrique : chaque morceau au-dessus de l'axe a son jumeau exact en dessous, et tout se compense.
⚠️ Le tableau de signes d'un produit de trois facteurs demande du soin : on compte combien de facteurs sont négatifs. Un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif ; un nombre impair, un produit négatif.
- Étape 2 : a) f(x) = x^3 - 3x = x(x^2-3) = x(x- 3)(x+ 3)
[formule]
Le signe, en comptant les facteurs négatifs sur chaque intervalle ( 3 1{,}73) :
| intervalle | x | x-3 | x+3 | nb de - | f |
|:---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| [-2\,;-3[ | - | - | - | 3 (impair) | - |
| ]-3\,;0[ | - | - | + | 2 (pair) | + |
| ]0\,;3[ | + | - | + | 1 (impair) | - |
| ]3\,;2] | + | + | + | 0 (pair) | + |
Contrôle numérique : f(-1{,}9) -1{,}16 ✓ · f(-1) = 2 > 0 ✓ · f(1) = -2 < 0 ✓ · f(1{,}9) 1{,}16 ✓
f 0 sur [-3;0] [3;2]
- Étape 3 : b) Une primitive : F(x) = x^4{4} - 3x^2{2}.
f étant impaire et [-2\,;2] symétrique, l'aire de la moitié gauche égale celle de la moitié droite. On calcule donc à droite et l'on double :
_0^{3} f = F(3) - F(0) = (9{4} - 9{2}) - 0 = -9{4}
(négative ✓, conformément au tableau)
_{3}^{2} f = F(2) - F(3) = (4 - 6) - (-9{4}) = -2 + 9{4} = 1{4}
(positive ✓)
-9{4} \ et \ 1{4}
- Étape 4 : L'aire de la moitié droite, en retranchant le morceau négatif :
-(-9{4}) + 1{4} = 9{4} + 1{4} = 10{4} = 5{2}
Par symétrie, l'aire totale est le double :
[formule]
A = 5 u.a.
- Étape 5 : c) f est impaire et l'intervalle symétrique, donc
[formule]
Vérification directe : F(2) = 4 - 6 = -2 et F(-2) = 16{4} - 3 4{2} = 4 - 6 = -2. Donc F(2) - F(-2) = 0 ✓
⚠️ Le contraste est total :
[formule]
Commentaire. L'intégrale est nulle parce que les aires situées au-dessus et en dessous de l'axe se compensent exactement — l'imparité les rend égales deux à deux. Mais le domaine, lui, est bien là : il a une aire de 5 unités.
👉 C'est la démonstration la plus nette possible que l'intégrale n'est pas l'aire. Un résultat nul ne signifie pas « rien sous la courbe » : il signifie « autant au-dessus qu'en dessous ».
_{-2}^{2} f = 0 A = 5
- Étape 6 : L'erreur classique :
Se tromper dans le tableau de signes d'un produit de trois facteurs.
La méthode sûre : compter les facteurs négatifs. Pair produit positif ; impair produit négatif. Sur [-2\,;-3[, les trois sont négatifs — donc le produit est négatif, pas positif.
👉 Et le contrôle qui tranche en trois secondes : tester une valeur dans chaque intervalle. f(-1) = -1 + 3 = 2 > 0 confirme le signe sur ]-3\,;0[.
À retenir :
Une intégrale nulle ne veut pas dire « aire nulle » : elle veut dire « compensation exacte ».
👉 Et l'imparité est un raccourci puissant sur un intervalle symétrique : l'intégrale est nulle sans aucun calcul, et l'aire se calcule sur une moitié puis se double.