Intégration par parties

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes par IPP : a) I = _0^1 (2x+1)\,e^x\,dx b) J = _1^e x\,(x)\,dx

Indice : Pour a), pose u = 2x+1 et v' = e^x. Pour b), pose u = (x) et v' = x.

Correction

1. Étape 1 : L'intégration par parties sert quand aucune forme composée n'apparaît — typiquement pour un produit de deux fonctions de natures différentes. Intégration par parties : [formule] 👉 Le choix de u et v' décide de tout. On choisit pour u la fonction qui se simplifie en dérivant : un polynôme il perd un degré à chaque dérivation ; un logarithme il devient une fraction rationnelle, bien plus simple. ⚠️ Le mauvais choix ne donne pas un résultat faux : il donne une intégrale plus compliquée que celle de départ. C'est le signal qu'il faut recommencer en échangeant les rôles.
2. Étape 2 : a) I = _0^1 (2x+1)e^x\,dx. Le polynôme 2x+1 se simplifie en dérivant ( 2) ; e^x ne change jamais. On pose donc : u = 2x+1 u' = 2 v' = e^x v = e^x [formule] 👉 Le terme entre crochets se calcule en premier : (2 1 + 1)e^1 - (2 0 + 1)e^0 = 3e - 1.

   I = [(2x+1)e^x]_0^1 - _0^1 2e^x dx

3. Étape 3 : L'intégrale restante est immédiate : _0^1 2e^x dx = 2[e^x]_0^1 = 2(e - 1) D'où I = (3e - 1) - 2(e-1) = 3e - 1 - 2e + 2 [formule] Contrôle de plausibilité : sur [0\,;1], (2x+1)e^x varie de 1 à 3e 8{,}15. L'intégrale est donc entre 1 et 8,15 ✓

   I = e + 1

4. Étape 4 : b) J = _1^e x(x)\,dx. ⚠️ Ici on choisit u = x, pas le polynôme — et c'est le point à comprendre. Le logarithme n'a pas de primitive simple au programme, on ne peut donc pas le prendre comme v'. En revanche il se simplifie en dérivant : x 1{x}. u = x u' = 1{x} v' = x v = x^2{2} [formule] Le crochet : e^2{2}(e) - 1{2}(1) = e^2{2} - 0, car e = 1 et 1 = 0.

   J = e^2{2} - _1^e x{2}\,dx

5. Étape 5 : La simplification est le cœur du calcul : x^2{2} 1{x} = x{2} — le logarithme a disparu, et il reste une intégrale de polynôme. _1^e x{2}dx = [x^2{4}]_1^e = e^2{4} - 1{4} J = e^2{2} - e^2{4} + 1{4} = 2e^2 - e^2{4} + 1{4} [formule]

   J = e^2+1{4}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Choisir u = x et v' = x en b). Il faudrait alors une primitive de — qui existe (x x - x) mais n'est pas au programme, et qu'on n'a donc pas le droit d'utiliser sans la démontrer. Le choix n'est pas une préférence : c'est ce qui rend le calcul possible. 👉 Le repère : u est ce qui se simplifie en dérivant, v' ce dont on sait primitiver. Un logarithme est toujours u ; une exponentielle est presque toujours v'. À retenir : IPP = [uv] - u'v — et le choix de u décide de la réussite. 👉 Si l'intégrale restante est plus compliquée que celle de départ, c'est le signal d'un mauvais choix : recommencer en échangeant.