Valeur moyenne d'une fonction

Énoncé

Soit f(x) = (x) sur [0 ; ]. a) Calculer _0^{} (x)\,dx. b) En déduire la valeur moyenne de f sur [0 ; ]. c) Interpréter graphiquement : quelle est la hauteur du rectangle de base [0 ; ] ayant la même aire que le domaine sous la courbe ?

Indice : La valeur moyenne est = 1{b-a}_a^b f(x)\,dx. La primitive de (x) est -(x).

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui construisent l'interprétation géométrique de la valeur moyenne — c'est le vrai sujet de l'exercice, le calcul n'étant qu'un support. 👉 La question c) est celle qui compte : elle demande de traduire un nombre en figure. Un élève qui sait calculer sans savoir ce qu'il représente ne saura pas s'en servir. Valeur moyenne : [formule] C'est la hauteur du rectangle de base [a\,;b] ayant la même aire que le domaine sous la courbe.
2. Étape 2 : a) La primitive de est - : _0^{}(x)\,dx = [-(x)]_0^{} = -() - (-(0)) Avec () = -1 et (0) = 1 : = -(-1) + 1 = 1 + 1 [formule] 👉 Un résultat remarquable : l'aire de l'arche de sinus vaut exactement 2, un nombre entier — alors que la courbe n'a rien de rectiligne et que l'intervalle mesure .

   _0^{}(x)\,dx = 2

3. Étape 3 : b) La largeur de l'intervalle est - 0 = : = 1{} 2 [formule] Contrôle : sur [0\,;], varie de 0 à 1. La moyenne doit donc être entre 0 et 1 ✓ — et elle vaut environ 0,64, c'est-à-dire un peu au-dessus de 1{2}. ℹ️ Cohérent avec la forme de la courbe : l'arche de sinus est concave, elle passe donc plus de temps près de son maximum que près de zéro.

   = 2{} 0{,}637

4. Étape 4 : c) L'interprétation. Le rectangle de base [0\,;] et de hauteur = 2{} a pour aire : [formule] C'est exactement l'aire sous l'arche de sinus, calculée en a). 👉 Autrement dit : si l'on « aplatissait » l'arche pour en faire un rectangle de même base, sa hauteur serait 2{} 0{,}64. Toute la matière de l'arche, redistribuée uniformément. C'est l'image qu'il faut garder : est le niveau auquel se stabiliserait le liquide si l'on versait l'aire dans un récipient de base [a\,;b].

   2{} = 2 = _0^{}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de diviser par b - a, et annoncer = 2. 2 est une aire, pas une hauteur. Et le contrôle l'attrape immédiatement : ne dépasse jamais 1, donc sa valeur moyenne ne peut pas valoir 2. 👉 Une valeur moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de la fonction. C'est le contrôle le plus rapide, et il ne coûte rien. À retenir : est une hauteur : celle du rectangle de même aire. 👉 Et sa position entre min et max dépend de la convexité : une fonction concave (comme l'arche de sinus) a une moyenne au-dessus du milieu ; une fonction convexe, en dessous.