Aire entre deux courbes

Énoncé

Soient f(x) = x^2 et g(x) = 2x. a) Déterminer les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g. b) Étudier le signe de g(x) - f(x) sur [0 ; 3]. c) Calculer l'aire du domaine compris entre C_f et C_g sur [0 ; 3].

Indice : Résous x^2 = 2x pour trouver les intersections, puis découpe l'intégrale selon le signe de g - f.

Correction

1. Étape 1 : Aire entre deux courbes : c'est le cas précédent, appliqué à la différence. Aire entre deux courbes : [formule] 👉 Toute la difficulté est dans la valeur absolue, c'est-à-dire dans le signe de la différence : sur chaque zone, il faut intégrer la fonction du dessus moins celle du dessous. ⚠️ Et les courbes peuvent se croiser à l'intérieur de l'intervalle : c'est le cas ici en x = 2. Il faut donc chercher les intersections avant de découper — d'où la question a).
2. Étape 2 : a) Les intersections vérifient f(x) = g(x) : x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x-2) = 0 [formule] ⚠️ Ne pas diviser par x — on perdrait la solution x = 0. Factoriser, toujours. b) g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2-x). Coefficient dominant -1 < 0 : colline, donc positive entre les racines. g f sur [0\,;2] · f g sur [2\,;3]

   x = 0 ou x = 2 \ ; g f sur [0;2]

3. Étape 3 : c) On découpe en deux, en mettant à chaque fois la plus grande d'abord : A = _0^2 (2x - x^2)\,dx + _2^3 (x^2 - 2x)\,dx Premier morceau, primitive x^2 - x^3{3} : _0^2 (2x-x^2)dx = [x^2 - x^3{3}]_0^2 = (4 - 8{3}) - 0 = 4{3}

   _0^2 (2x-x^2)dx = 4{3}

4. Étape 4 : Second morceau, primitive x^3{3} - x^2 : _2^3 (x^2-2x)dx = [x^3{3} - x^2]_2^3 = (9 - 9) - (8{3} - 4) = 0 + 4{3} = 4{3} [formule] 👉 Les deux morceaux sont égaux, alors que le premier est deux fois plus large que le second. Cohérent : sur [2\,;3] l'écart entre les deux courbes croît vite, tandis que sur [0\,;2] il part de 0, culmine à 1 en x=1, puis revient à 0.

   A = 8{3} u.a.

5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer _0^3 (g - f)\,dx sans découper. On obtiendrait 4{3} - 4{3} = 0 : les deux zones se compensent exactement, et l'on annoncerait une aire nulle entre deux courbes qui ne sont pas confondues. L'absurdité est visible ici, mais elle ne le serait pas si les morceaux étaient de tailles différentes. 👉 Toujours chercher les intersections d'abord. Elles sont les points de découpage, et rien d'autre ne les signale. À retenir : Aire entre deux courbes = |f - g|, donc : intersections, signe, découpage. 👉 Sur chaque morceau, intégrer la courbe du dessus moins celle du dessous — c'est ce qui garantit un résultat positif.