Aire entre deux courbes

Énoncé

Soient f(x) = x^2 et g(x) = 2x. a) Déterminer les abscisses des points d'intersection de C_f et C_g. b) Étudier le signe de g(x) - f(x) sur [0 ; 3]. c) Calculer l'aire du domaine compris entre C_f et C_g sur [0 ; 3].

Indice : Résous x^2 = 2x pour trouver les intersections, puis découpe l'intégrale selon le signe de g - f.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = g(x) x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x-2) = 0. Donc x = 0 ou x = 2.
2. Étape 2 : **b)** g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2 - x). g - f 0 sur [0 ; 2] (donc g f) et g - f 0 sur [2 ; 3] (donc f g).
3. Étape 3 : **c)** A = _0^2 (2x - x^2)\,dx + _2^3 (x^2 - 2x)\,dx. _0^2 (2x - x^2)\,dx = [x^2 - x^3{3}]_0^2 = 4 - 8{3} = 4{3}.
4. Étape 4 : _2^3 (x^2 - 2x)\,dx = [x^3{3} - x^2]_2^3 = (9 - 9) - (8{3} - 4) = 0 + 4{3} = 4{3}.
5. Étape 5 : A = 4{3} + 4{3} = 8{3} u.a.

   A = 8{3} u.a.