Calcul d'intégrales directes

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes : a) _0^1 3x^2\,e^{x^3}\,dx b) _1^2 2x{x^2+1}\,dx c) _0^{/2} 2(x)(x)\,dx

Indice : Reconnais les formes composées : u'e^u, u'/u, u'u^n (ou u'(u)).

Correction

1. Étape 1 : Mêmes formes que l'exercice précédent, mais avec des bornes : on reconnaît, on primitive, on évalue. 👉 Rien de nouveau techniquement — l'intérêt est de voir que la reconnaissance de forme précède tout. Aucune de ces trois intégrales ne se calcule « en développant » : il faut voir u' et u. ⚠️ Et la question c) demande une réécriture préalable : 2 x x ne ressemble à aucune forme du tableau tant qu'on n'a pas choisi lequel des deux facteurs est u.
2. Étape 2 : a) _0^1 3x^2\,e^{x^3}\,dx. Forme u'e^u avec u = x^3 et u' = 3x^2 ✓ — le facteur est exactement u'. _0^1 3x^2 e^{x^3}dx = [e^{x^3}]_0^1 = e^{1} - e^{0} [formule]

   _0^1 3x^2 e^{x^3}dx = e-1

3. Étape 3 : b) _1^2 2x{x^2+1}\,dx. Forme u'{u} avec u = x^2+1 et u' = 2x ✓ _1^2 2x\,dx{x^2+1} = [(x^2+1)]_1^2 = (5) - (2) On regroupe les logarithmes : [formule] 👉 Laisser 5 - 2 serait juste, mais 5{2} est la forme aboutie — un seul logarithme.

   _1^2 2x\,dx{x^2+1} = \!(5{2})

4. Étape 4 : c) _0^{/2} 2(x)(x)\,dx. Ici il faut choisir : on pose u = x, donc u' = x — et l'expression devient 2\,u'\,u, c'est-à-dire la forme u'u^n avec n = 1. Primitive : 2 u^2{2} = u^2 = ^2 x. _0^{/2} 2 x x\,dx = [^2 x]_0^{/2} = 1 - 0 [formule] ℹ️ On aurait pu poser u = x : alors u' = - x et l'expression vaut -2u'u, de primitive -^2 x. L'évaluation donne -0 - (-1) = 1 — le même résultat. Deux primitives différant d'une constante (^2 = 1 - ^2), donc la même intégrale. C'est rassurant, et c'est une bonne illustration de l'indifférence à la constante.

   _0^{/2} 2 x x\,dx = 1

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher à développer ou à linéariser avant d'avoir cherché une forme composée. 2 x x = (2x) (formule de duplication) fonctionnerait aussi ici, mais c'est un détour : la forme u'u se voit directement, et elle s'applique à des cas où aucune formule de duplication n'existe. À retenir : Reconnaître avant de calculer. Les trois formes composées couvrent la grande majorité des intégrales du programme. 👉 Et deux choix de u différents donnent deux primitives différentes — mais la même intégrale, puisqu'elles ne diffèrent que d'une constante.