Primitives de fonctions composées

Énoncé

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = 6x^2(x^3 + 1)^4 b) g(x) = 2x{x^2 + 5} c) h(x) = (2x+1)\,e^{x^2+x}

Indice : Cherche à reconnaître la forme u' f(u) dans chaque cas. Identifie u et u'.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On pose u(x) = x^3 + 1, donc u'(x) = 3x^2. On a f(x) = 6x^2(x^3+1)^4 = 2 3x^2 u^4 = 2\,u'\,u^4. Primitive : F(x) = 2 u^5{5} = 2(x^3+1)^5{5}.

   F(x) = 2(x^3+1)^5{5}

2. Étape 2 : **b)** On pose u(x) = x^2 + 5, donc u'(x) = 2x. On reconnaît g(x) = u'{u}. Primitive : G(x) = (x^2 + 5). (Pas de valeur absolue car x^2 + 5 > 0 pour tout x.)

   G(x) = (x^2+5)

3. Étape 3 : **c)** On pose u(x) = x^2 + x, donc u'(x) = 2x + 1. On reconnaît h(x) = u'\,e^u. Primitive : H(x) = e^{x^2+x}.

   H(x) = e^{x^2+x}