Primitives de fonctions composées

Énoncé

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = 6x^2(x^3 + 1)^4 b) g(x) = 2x{x^2 + 5} c) h(x) = (2x+1)\,e^{x^2+x}

Indice : Cherche à reconnaître la forme u' f(u) dans chaque cas. Identifie u et u'.

Correction

1. Étape 1 : Les primitives composées : c'est la dérivation lue à l'envers, et tout tient à reconnaître une forme. Les trois formes à reconnaître : [formule] 👉 La méthode est toujours la même : repérer un candidat u — souvent ce qui est « à l'intérieur » —, calculer u', et vérifier qu'il apparaît bien en facteur. S'il manque un coefficient, on l'ajuste par une constante. ⚠️ Et comme partout dans ce chapitre : dériver le résultat est le contrôle infaillible.
2. Étape 2 : a) f(x) = 6x^2(x^3+1)^4. Le candidat naturel est u = x^3 + 1, ce qui donne u' = 3x^2. Or le facteur présent est 6x^2 = 2 3x^2 = 2u'. On a donc f(x) = 2\,u'\,u^4 La primitive de u'u^4 est u^5{5} : [formule] 👉 Le facteur 2 n'est pas un obstacle : une constante multiplicative traverse l'intégration sans dommage. C'est seulement si le facteur dépendait de x que la forme ne s'appliquerait plus.

   F(x) = 2(x^3+1)^5{5}

3. Étape 3 : b) g(x) = 2x{x^2+5}. On pose u = x^2 + 5, donc u' = 2x — exactement le numérateur. C'est la forme u'{u}, de primitive |u| : [formule] 👉 Pas de valeur absolue ici : x^2 + 5 5 > 0 pour tout réel. On ne l'écrit que lorsque u peut être négatif — ce qui n'arrive jamais avec un x^2 + constante positive.

   G(x) = (x^2+5)

4. Étape 4 : c) h(x) = (2x+1)\,e^{x^2+x}. On pose u = x^2 + x, donc u' = 2x + 1 — exactement le facteur devant. C'est la forme u'\,e^u, de primitive e^u : [formule] Contrôle : H'(x) = (2x+1)\,e^{x^2+x} = h(x) ✓ 👉 Cette forme est la plus facile à repérer : ce qui est en exposant est u, et il doit apparaître dérivé en facteur.

   H(x) = e^{x^2+x}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Reconnaître la forme sans vérifier que u' est bien le facteur présent. Pour x\,e^{x^2}dx, on a u = x^2 donc u' = 2x — or le facteur est x, soit 1{2}u'. La primitive est donc 1{2}e^{x^2} et non e^{x^2}. Un facteur 2 d'écart, invisible si l'on ne contrôle pas. 👉 Toujours dériver le résultat. C'est le seul moyen d'attraper ces coefficients manquants. À retenir : Poser u, calculer u', vérifier qu'il est en facteur — et ajuster par une constante s'il manque un coefficient. 👉 Et la valeur absolue de |u| ne s'écrit que si u peut changer de signe.