Problème complet : aire et valeur moyenne

Énoncé

On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f(x) = (1 - x)\,e^{-x}. a) Montrer que F(x) = x\,e^{-x} est une primitive de f sur [0 ; +[. b) Calculer _0^2 f(x)\,dx. c) Déterminer le signe de f sur [0 ; +[ et calculer l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0 ; 2]. d) Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 2].

Indice : Pour a), dérive F(x) = x\,e^{-x} avec la formule du produit. Pour c), étudie le signe de 1 - x.

Correction

1. Étape 1 : Un problème complet, dont la question a) offre un cadeau qu'il faut savoir reconnaître. 👉 « Montrer que F est une primitive de f » ne demande pas de calculer une primitive : il suffit de dériver F et de vérifier qu'on retombe sur f. Le sens du travail est inversé, et il est bien plus facile. ⚠️ La question c) réclame ensuite le découpage habituel — f change de signe en x = 1 — et l'on retrouvera la distinction intégrale / aire. ℹ️ La question b) demande l'intégrale (signée) et la c) l'aire : les deux nombres seront différents, et c'est le sujet.
2. Étape 2 : a) F(x) = x\,e^{-x} est un produit : on dérive avec (uv)' = u'v + uv', en notant que (e^{-x})' = -e^{-x}. F'(x) = 1 e^{-x} + x (-e^{-x}) = e^{-x} - x\,e^{-x} On factorise par e^{-x} : [formule] F est donc bien une primitive de f sur [0\,;+[.

   F'(x) = (1-x)e^{-x} = f(x)

3. Étape 3 : b) On applique directement le théorème fondamental : _0^2 f(x)\,dx = [x\,e^{-x}]_0^2 = 2e^{-2} - 0 e^{0} [formule]

   _0^2 f = 2e^{-2} 0{,}271

4. Étape 4 : c) Le signe. e^{-x} > 0 pour tout réel, donc le signe de f est celui de 1 - x : f 0 sur [0\,;1] · f 0 sur [1\,;2] On découpe : A = _0^1 f - _1^2 f _0^1 f = F(1) - F(0) = e^{-1} - 0 = e^{-1} _1^2 f = F(2) - F(1) = 2e^{-2} - e^{-1} (bien négative, puisque 2e^{-2} 0{,}271 < e^{-1} 0{,}368) ✓

   _0^1 f = e^{-1} \ ; \ _1^2 f = 2e^{-2}-e^{-1}

5. Étape 5 : A = e^{-1} - (2e^{-2} - e^{-1}) = e^{-1} - 2e^{-2} + e^{-1} [formule] ⚠️ Comparer avec b) : l'intégrale valait 0{,}271, l'aire vaut 0{,}465. Presque le double — parce que la partie négative a été comptée en moins dans l'intégrale, et en plus dans l'aire. d) La valeur moyenne emploie l'intégrale, pas l'aire : = 1{2-0}_0^2 f = 1{2} 2e^{-2} [formule] 👉 La moyenne est positive mais petite : la fonction est majoritairement positive, mais sa partie négative tire la moyenne vers le bas. C'est bien une moyenne algébrique, pas une moyenne d'aires.

   A = 2(e-1){e^2} 0{,}465 \ ; = 1{e^2}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Utiliser l'aire dans le calcul de la valeur moyenne, et annoncer = 0{,465}{2} 0{,}23. La valeur moyenne est définie à partir de l'intégrale, qui est signée. Une fonction qui passe autant de temps au-dessus qu'en dessous de l'axe a une moyenne proche de zéro — c'est le sens de la définition, et l'aire ne le dirait pas. À retenir : « Montrer que F est une primitive » se traite en dérivant F — jamais en cherchant une primitive de f. 👉 Et distinguer les trois nombres de cet exercice : l'intégrale (0{,}271, signée), l'aire (0{,}465, positive), la moyenne (0{,}135, l'intégrale divisée par la largeur).