Problème complet : aire et valeur moyenne

Énoncé

On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par f(x) = (1 - x)\,e^{-x}. a) Montrer que F(x) = x\,e^{-x} est une primitive de f sur [0 ; +[. b) Calculer _0^2 f(x)\,dx. c) Déterminer le signe de f sur [0 ; +[ et calculer l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses sur [0 ; 2]. d) Calculer la valeur moyenne de f sur [0 ; 2].

Indice : Pour a), dérive F(x) = x\,e^{-x} avec la formule du produit. Pour c), étudie le signe de 1 - x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** F(x) = x\,e^{-x}. F'(x) = 1 e^{-x} + x (-e^{-x}) = e^{-x} - x\,e^{-x} = (1 - x)e^{-x} = f(x) ✓
2. Étape 2 : **b)** _0^2 f(x)\,dx = [x\,e^{-x}]_0^2 = 2e^{-2} - 0 = 2e^{-2}.

   _0^2 f(x)\,dx = 2e^{-2}

3. Étape 3 : **c)** e^{-x} > 0 pour tout x, donc le signe de f(x) est celui de (1-x) : f(x) 0 sur [0 ; 1] et f(x) 0 sur [1 ; 2].
4. Étape 4 : A = _0^1 f(x)\,dx - _1^2 f(x)\,dx. _0^1 f = e^{-1} - 0 = e^{-1} et _1^2 f = 2e^{-2} - e^{-1}. A = e^{-1} - (2e^{-2} - e^{-1}) = 2e^{-1} - 2e^{-2} = 2{e} - 2{e^2} = 2(e-1){e^2} u.a.
5. Étape 5 : **d)** = 1{2}_0^2 f(x)\,dx = 1{2} 2e^{-2} = e^{-2} = 1{e^2}.

   = 1{e^2}