Intégration par parties

Énoncé

Calculer à l'aide d'une intégration par parties : a) I = _0^1 x\,e^x\,dx b) J = _1^e x\,(x)\,dx

Indice : Choisis u et v' judicieusement. Pour a), pose u = x et v' = e^x. Pour b), pose u = (x) et v' = x.

Correction

1. Étape 1 : Deux intégrations par parties, et la seconde est exactement celle de l'exercice 19013 b). 👉 Ce n'est pas une redite inutile : c'est l'occasion de voir qu'un résultat obtenu une fois se réemploie. En devoir, on cite le calcul déjà fait plutôt que de le refaire — et l'on gagne le temps qu'on passera ailleurs. ⚠️ La question a) est en revanche plus simple que son homologue du 19013 (x au lieu de 2x+1), et elle donne un résultat étonnamment propre. Elle vaut donc d'être faite pour elle-même.
2. Étape 2 : a) I = _0^1 x\,e^x\,dx. u = x u' = 1 (le polynôme se simplifie) v' = e^x v = e^x [formule] Le crochet : 1 e^1 - 0 e^0 = e. L'intégrale restante : [e^x]_0^1 = e - 1.

   I = e - (e-1)

3. Étape 3 : [formule] 👉 Le résultat est exactement 1, alors que e apparaît partout dans le calcul. Les deux e se compensent — c'est le genre de simplification qui signale qu'on n'a pas fait d'erreur. Contrôle de plausibilité : sur [0\,;1], xe^x varie de 0 à e 2{,}72, et la fonction est croissante. L'intégrale est donc entre 0 et 2,72, plus près du bas puisque la fonction démarre à 0. La valeur 1 convient ✓

   I = 1

4. Étape 4 : b) J = _1^e x(x)\,dx — c'est le calcul de l'exercice 19013 b). On le refait ici pour mémoire, avec u = x (qui se simplifie en 1{x}) et v' = x (donc v = x^2{2}) : J = [x^2{2} x]_1^e - _1^e x{2}\,dx = e^2{2} - [x^2{4}]_1^e [formule] ℹ️ La simplification centrale reste la même : x^2{2}1{x} = x{2} fait disparaître le logarithme, et c'est tout l'intérêt de ce choix de u.

   J = e^2+1{4}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Se tromper de signe dans la formule et écrire [uv] + u'v. En a), cela donnerait e + (e-1) = 2e - 1 4{,}44 — au-dessus du maximum de la fonction sur l'intervalle, donc impossible. Le contrôle de plausibilité attrape cette erreur en trois secondes. 👉 Le signe moins vient de la dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv', donc uv' = (uv)' - u'v. En intégrant, le - subsiste. À retenir : Un résultat déjà obtenu se réemploie — le citer vaut mieux que le refaire. 👉 Et le contrôle de plausibilité (encadrer f, multiplier par la largeur) attrape les erreurs de signe de l'IPP, qui sont les plus fréquentes.