Intégration par parties

Énoncé

Calculer à l'aide d'une intégration par parties : a) I = _0^1 x\,e^x\,dx b) J = _1^e x\,(x)\,dx

Indice : Choisis u et v' judicieusement. Pour a), pose u = x et v' = e^x. Pour b), pose u = (x) et v' = x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On pose u(x) = x u'(x) = 1 et v'(x) = e^x v(x) = e^x.
2. Étape 2 : I = [x\,e^x]_0^1 - _0^1 e^x\,dx = (e - 0) - [e^x]_0^1 = e - (e - 1) = 1.

   I = 1

3. Étape 3 : **b)** On pose u(x) = (x) u'(x) = 1{x} et v'(x) = x v(x) = x^2{2}.
4. Étape 4 : J = [x^2{2}(x)]_1^e - _1^e x^2{2} 1{x}\,dx = (e^2{2} - 0) - _1^e x{2}\,dx.
5. Étape 5 : J = e^2{2} - [x^2{4}]_1^e = e^2{2} - e^2{4} + 1{4} = e^2{4} + 1{4} = e^2 + 1{4}.

   J = e^2 + 1{4}