Valeur moyenne d'une fonction

Énoncé

Calculer la valeur moyenne de la fonction f(x) = e^x sur l'intervalle [0 ; 2].

Indice : = 1{b-a}_a^b f(x)\,dx.

Correction

1. Étape 1 : La valeur moyenne répond à une question concrète : quelle valeur constante donnerait la même intégrale ? Valeur moyenne : [formule] 👉 L'interprétation géométrique éclaire la formule : le rectangle de base [a\,;b] et de hauteur a exactement la même aire que le domaine sous la courbe. On « aplatit » la fonction sans changer l'aire. ⚠️ Diviser par b - a n'est pas une décoration : sans cela on obtiendrait une aire, pas une hauteur — deux grandeurs différentes.
2. Étape 2 : Sur [0\,;2], avec f(x) = e^x : = 1{2-0}_0^2 e^x\,dx = 1{2}[e^x]_0^2 [formule]

   = e^2-1{2}

3. Étape 3 : Numériquement, avec e^2 7{,}389 : [formule] 👉 Contrôle de cohérence — et il est instructif. Sur [0\,;2], f varie de e^0 = 1 à e^2 7{,}39. La moyenne doit être entre les deux ✓ Mais elle vaut 3,19, alors que le milieu de l'intervalle des valeurs serait 1+7{,39}{2} 4{,}19. La moyenne est donc plus basse que ce milieu. Pourquoi ? Parce que e^x est convexe : elle passe le plus clair de son temps près de valeurs faibles et n'explose qu'à la fin. La moyenne d'une fonction n'est pas la moyenne de ses valeurs extrêmes — sauf si elle est affine.

   3{,}19

4. Étape 4 : L'erreur classique : Calculer f(a)+f(b){2} — la moyenne des valeurs aux bornes. Cela ne vaut que pour une fonction affine, dont la courbe est une droite. Pour e^x sur [0\,;2], cette formule donnerait 4,19 au lieu de 3,19 : une erreur de 30 %. 👉 La valeur moyenne d'une fonction se calcule par une intégrale, jamais par une moyenne de valeurs isolées. À retenir : = 1{b-a}_a^b f — c'est la hauteur du rectangle de même aire. 👉 Et le contrôle : doit être entre le minimum et le maximum de f sur l'intervalle. Sa position à l'intérieur dépend de la convexité.