Calcul d'aire sous une courbe

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4x + 3. a) Résoudre f(x) = 0. b) Étudier le signe de f sur [0 ; 4]. c) Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 4.

Indice : Attention : f change de signe sur [0 ; 4]. Il faut découper l'intégrale et prendre la valeur absolue.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(x) = (x-1)(x-3) = 0 x = 1 ou x = 3.
2. Étape 2 : **b)** f(x) 0 sur [0 ; 1] [3 ; 4] et f(x) 0 sur [1 ; 3].
3. Étape 3 : **c)** On découpe : A = _0^1 f(x)\,dx - _1^3 f(x)\,dx + _3^4 f(x)\,dx.
4. Étape 4 : Une primitive est F(x) = x^3{3} - 2x^2 + 3x. _0^1 f = F(1) - F(0) = 1{3} - 2 + 3 = 4{3}. _1^3 f = F(3) - F(1) = (9 - 18 + 9) - 4{3} = -4{3}. _3^4 f = F(4) - F(3) = (64{3} - 32 + 12) - 0 = 4{3}.
5. Étape 5 : A = 4{3} - (-4{3}) + 4{3} = 4{3} + 4{3} + 4{3} = 4 u.a.

   A = 4 u.a.