Calcul d'aire sous une courbe

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 4x + 3. a) Résoudre f(x) = 0. b) Étudier le signe de f sur [0 ; 4]. c) Calculer l'aire du domaine compris entre la courbe de f, l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 4.

Indice : Attention : f change de signe sur [0 ; 4]. Il faut découper l'intégrale et prendre la valeur absolue.

Correction

1. Étape 1 : ⚠️ Le point central du chapitre, et la source d'erreur numéro un : une intégrale N'EST PAS une aire quand la fonction change de signe. Là où f est négative, l'intégrale compte l'aire négativement. Pour obtenir une aire — toujours positive — il faut donc : Aire quand f change de signe : 1. résoudre f(x) = 0 pour trouver les points de changement ; 2. découper l'intervalle en zones de signe constant ; 3. sur chaque zone, prendre + f si f 0 et - f si f 0 ; 4. additionner — tous les termes sont alors positifs. 👉 L'énoncé est construit pour cela : a) donne les racines, b) le signe, c) l'aire. Les trois questions sont la méthode.
2. Étape 2 : a) f(x) = x^2 - 4x + 3. On cherche une factorisation évidente : somme des racines 4, produit 3 — donc 1 et 3. f(x) = (x-1)(x-3) [formule] b) Le coefficient de x^2 est +1 > 0 : la parabole est une vallée, donc négative entre les racines. f 0 sur [0\,;1] et [3\,;4] ; f 0 sur [1\,;3].

   f(x) = (x-1)(x-3) \ ; f 0 sur [1;3]

3. Étape 3 : c) Une primitive : F(x) = x^3{3} - 2x^2 + 3x. On calcule les trois intégrales : _0^1 f = F(1) - F(0) = (1{3} - 2 + 3) - 0 = 4{3} _1^3 f = F(3) - F(1) = (9 - 18 + 9) - 4{3} = 0 - 4{3} = -4{3} _3^4 f = F(4) - F(3) = (64{3} - 32 + 12) - 0 = 64{3} - 20 = 4{3} 👉 La deuxième est négative, conformément au signe trouvé en b) — c'est un contrôle de cohérence.

   4{3} \ ; \ -4{3} \ ; \ 4{3}

4. Étape 4 : L'aire : on retranche l'intégrale négative, ce qui revient à l'ajouter en valeur absolue. A = _0^1 f - _1^3 f + _3^4 f = 4{3} - (-4{3}) + 4{3} [formule] ⚠️ Contraste instructif : sans découpage, on aurait calculé _0^4 f = F(4) - F(0) = 4{3} — soit trois fois moins. Les zones se seraient compensées, et le résultat n'aurait été ni l'aire, ni une erreur détectable. ℹ️ Les trois morceaux valent 4{3} chacun : ce n'est pas une coïncidence, la parabole est symétrique par rapport à x = 2, milieu de [0\,;4].

   A = 4 u.a.

5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer directement _0^4 f(x)\,dx et annoncer « l'aire vaut 4{3} ». C'est bien la valeur de l'intégrale, mais ce n'est pas l'aire : le morceau négatif a annulé une partie du positif. Et rien dans le résultat ne le signale — 4{3} est un nombre parfaitement plausible. 👉 Le réflexe qui protège : dès qu'on demande une AIRE, étudier le signe AVANT d'intégrer. Si f garde un signe constant, l'intégrale suffit (au signe près) ; sinon, il faut découper. À retenir : Intégrale aire dès que f change de signe. 👉 La méthode ne varie jamais : racines, signe, découpage, valeurs absolues. Et les trois questions de l'énoncé la déroulent dans l'ordre.