Relation de Chasles et linéarité

Énoncé

On sait que _0^3 f(x)\,dx = 7 et _3^5 f(x)\,dx = -2. a) Calculer _0^5 f(x)\,dx. b) Calculer _5^0 f(x)\,dx. c) Calculer _0^5 3f(x)\,dx.

Indice : Utilise la relation de Chasles et la linéarité de l'intégrale.

Correction

1. Étape 1 : Aucun calcul de primitive ici : uniquement les propriétés de l'intégrale. Les trois propriétés : Chasles : _a^c f + _c^b f = _a^b f Inversion des bornes : _b^a f = -_a^b f Linéarité : _a^b k\,f = k_a^b f 👉 Elles se démontrent toutes en une ligne à partir de F(b) - F(a) — l'inversion des bornes, par exemple, échange simplement les deux termes de la différence. ⚠️ Et une intégrale peut être négative : ici _3^5 f = -2, ce qui signifie que f est majoritairement négative sur [3\,;5]. Une intégrale n'est une aire que si la fonction est positive.
2. Étape 2 : a) Relation de Chasles avec a = 0, c = 3, b = 5 : _0^5 f = _0^3 f + _3^5 f = 7 + (-2) [formule] 👉 Chasles découpe un intervalle en deux, et c'est utile bien au-delà d'ici : c'est grâce à cette relation qu'on pourra calculer une aire en séparant les zones où f est positive de celles où elle est négative.

   _0^5 f = 5

3. Étape 3 : b) On inverse les bornes : _5^0 f = -_0^5 f = -5 [formule] ℹ️ Pourquoi cette règle ? Car _5^0 f = F(0) - F(5), qui est exactement l'opposé de F(5) - F(0). C'est donc une conséquence directe de la définition, et non une convention arbitraire.

   _5^0 f = -5

4. Étape 4 : c) Par linéarité, la constante 3 sort de l'intégrale : _0^5 3f(x)\,dx = 3_0^5 f(x)\,dx = 3 5 [formule] ⚠️ La linéarité vaut pour les constantes multiplicatives et les sommes, jamais pour les produits ou les quotients de fonctions. Il n'existe aucune formule pour fg — c'est précisément pour cela que l'intégration par parties existe.

   _0^5 3f = 15

5. Étape 5 : L'erreur classique : Étendre la linéarité aux produits : écrire fg = f g. C'est faux, et le contre-exemple tient en une ligne : _0^1 x x\,dx = _0^1 x^2 dx = 1{3}, alors que (_0^1 x\,dx)^2 = (1{2})^2 = 1{4}. Deux résultats différents. À retenir : Chasles découpe, l'inversion change le signe, la linéarité fait sortir les constantes. 👉 Et une intégrale négative n'est pas une erreur : elle dit que la fonction est majoritairement en dessous de l'axe.