Primitive passant par un point donné

Énoncé

Soit f(x) = 2x - 3. Déterminer la primitive F de f sur R telle que F(1) = 5.

Indice : Calcule la primitive générale F(x) + C puis détermine C avec la condition F(1) = 5.

Correction

1. Étape 1 : Exactement la même structure qu'une équation différentielle avec condition initiale : une famille de solutions, puis une condition qui en choisit une. 👉 Les primitives de f diffèrent d'une constante : si F et G sont deux primitives, alors (F-G)' = f - f = 0, donc F - G est constante. Il y en a donc une infinité, et exactement une par valeur de C. Primitive vérifiant une condition : 1. écrire la primitive générale, avec +\,C ; 2. remplacer par la valeur donnée ; 3. résoudre en C.
2. Étape 2 : La primitive générale de f(x) = 2x - 3 : 2x x^2 et -3 -3x, donc [formule]

   F(x) = x^2 - 3x + C

3. Étape 3 : La condition F(1) = 5. On remplace x par 1 : F(1) = 1^2 - 3 1 + C = 1 - 3 + C = -2 + C L'équation devient -2 + C = 5, donc [formule]

   C = 7

4. Étape 4 : [formule] Double vérification, et les deux sont utiles : la condition : F(1) = 1 - 3 + 7 = 5 ✓ la primitive : F'(x) = 2x - 3 = f(x) ✓ 👉 Ces deux contrôles sont indépendants : le premier valide C, le second valide le reste de l'expression. Une erreur dans l'un ne se voit pas dans l'autre.

   F(x) = x^2 - 3x + 7

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le +\,C dans la primitive générale, et donc n'avoir aucun paramètre à ajuster. On obtiendrait F(1) = -2 5 et l'on serait bloqué. Le C n'est pas décoratif : c'est lui qui permet de satisfaire la condition. À retenir : Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante — c'est ce qui rend la condition résoluble. 👉 Et vérifier les deux choses : que F' = f, et que la condition est satisfaite.