Calculer des intégrales définies

Énoncé

Calculer les intégrales suivantes : a) _0^2 (3x^2 + 1)\,dx b) _1^4 1{x}\,dx c) _0^{} (x)\,dx

Indice : Trouve une primitive puis applique F(b) - F(a).

Correction

1. Étape 1 : Une intégrale définie se calcule en deux temps, et le second est purement arithmétique. Théorème fondamental : Si F est une primitive de f sur [a\,;b], alors [formule] 👉 La constante n'a aucune importance : avec F + C, on obtiendrait (F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a) — elle se simplifie. C'est pourquoi on prend toujours la primitive la plus simple. ⚠️ Et l'ordre est imposé : F(b) moins F(a), la borne du haut d'abord. L'inverser change le signe du résultat.
2. Étape 2 : a) Une primitive de 3x^2 + 1 est x^3 + x : _0^2 (3x^2+1)\,dx = [x^3+x]_0^2 = (2^3 + 2) - (0 + 0) [formule] 👉 Contrôle de plausibilité : sur [0\,;2] la fonction vaut entre 1 et 13, donc son intégrale est comprise entre 1 2 = 2 et 13 2 = 26. La valeur 10 est dans cette fourchette ✓

   _0^2 (3x^2+1)\,dx = 10

3. Étape 3 : b) 1{ x} ne figure pas tel quel dans le tableau : on le réécrit en puissance. 1{ x} = x^{-1/2}, donc sa primitive est x^{1/2}{1/2} = 2 x. _1^4 dx{ x} = [2 x]_1^4 = 2 4 - 2 1 = 4 - 2 [formule] 👉 Réécrire en puissance est le réflexe qui ramène racines et fractions au cas connu x^n x^{n+1}{n+1}. Ici n = -1{2}, donc n+1 = 1{2}.

   _1^4 dx{ x} = 2

4. Étape 4 : c) La primitive de est - : _0^{} (x)\,dx = [-(x)]_0^{} = -() - (-(0)) () = -1 et (0) = 1, donc = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2 [formule] ⚠️ Le double signe moins est le piège : -() vaut +1, et l'on soustrait -(0) = -1. Écrire chaque étape séparément évite l'erreur.

   _0^{} (x)\,dx = 2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Calculer F(a) - F(b) au lieu de F(b) - F(a). Le résultat est l'opposé du bon — et sur une fonction positive comme en a), on obtiendrait une aire négative, ce qui est impossible. Une intégrale de fonction positive est toujours positive : c'est le contrôle qui attrape cette erreur. À retenir : _a^b f = F(b) - F(a), borne du haut d'abord, et la constante se simplifie. 👉 Et le contrôle de plausibilité : encadrer f sur l'intervalle, multiplier par la largeur. Ça ne donne pas la valeur, mais ça détecte les erreurs d'un facteur 10.