Calculer des primitives simples

Énoncé

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes : a) f(x) = 4x^3 - 6x + 1 b) g(x) = 5e^x - 3{x^2} sur ]0 ; +[ c) h(x) = (x) + 2(x)

Indice : Utilise le tableau des primitives usuelles et la linéarité.

Correction

1. Étape 1 : Une primitive est l'opération inverse de la dérivation : F est une primitive de f lorsque F' = f. Les primitives usuelles : [formule] [formule] 👉 Le seul contrôle qui compte : dériver le résultat. Si l'on retombe sur f, la primitive est juste — quelle qu'ait été la méthode. C'est un luxe rare en mathématiques, et il faut s'en servir systématiquement. ⚠️ Deux pièges de signe : la primitive de est - (le signe apparaît), et celle de 1{x^2} est -1{x} (idem).
2. Étape 2 : a) f(x) = 4x^3 - 6x + 1. On applique terme à terme, avec x^n x^{n+1}{n+1} : 4x^3 4 x^4{4} = x^4 -6x -6 x^2{2} = -3x^2 1 x [formule] Contrôle : F'(x) = 4x^3 - 6x + 1 = f(x) ✓

   F(x) = x^4 - 3x^2 + x

3. Étape 3 : b) g(x) = 5e^x - 3{x^2} sur ]0\,;+[. Le premier terme est immédiat : 5e^x 5e^x. Pour le second, on écrit 3{x^2} = 3 1{x^2}, et la primitive de 1{x^2} est -1{x} : -3{x^2} -3 (-1{x}) = +3{x} [formule] 👉 Deux signes moins qui se compensent — c'est le point délicat, et le contrôle le tranche : G'(x) = 5e^x + 3 (-1{x^2}) = 5e^x - 3{x^2} = g(x) ✓

   G(x) = 5e^x + 3{x}

4. Étape 4 : c) h(x) = (x) + 2(x). x x, et x - x : [formule] Contrôle : H'(x) = (x) - 2 (-(x)) = (x) + 2(x) = h(x) ✓ ⚠️ Le signe s'inverse pour le sinus, pas pour le cosinus. Le moyen de ne pas s'y tromper : se rappeler que ()' = -, donc pour remonter de vers sa primitive il faut compenser ce signe.

   H(x) = (x) - 2(x)

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire la primitive de comme , ou celle de 1{x^2} comme 1{x} — en oubliant le signe moins dans les deux cas. 👉 Le contrôle par dérivation coûte cinq secondes et attrape tout. Il n'y a aucune raison de ne pas le faire : contrairement à la plupart des exercices, on dispose ici d'un moyen infaillible de vérifier sa réponse. À retenir : Une primitive se vérifie en dérivant. C'est le seul chapitre où la vérification est aussi simple que le calcul. 👉 Et il y a une infinité de primitives, différant d'une constante : x^4 - 3x^2 + x + 7 convient aussi. L'énoncé dit « une primitive », donc on en donne une — mais il faut savoir qu'elles ne sont pas uniques.