Problème de modélisation : décroissance radioactive

Énoncé

La masse (en grammes) d'un échantillon radioactif est modélisée par m(t) = 200 \, e^{-0{,}035t}, où t est le temps en années. a) Quelle est la masse initiale de l'échantillon ? b) Calculer m'(t) et interpréter son signe. c) Déterminer la demi-vie de l'échantillon, c'est-à-dire le temps T tel que m(T) = m(0){2}. d) Au bout de combien d'années la masse sera-t-elle inférieure à 10 g ? e) Calculer _{t +} m(t) et interpréter.

Indice : Pour c) et d), résous des équations/inéquations de la forme e^{-0,035t} = k. Utilise .

Correction

1. Étape 1 : **a)** m(0) = 200 \, e^{0} = 200 g. La masse initiale est de 200 grammes.

   m(0) = 200 g

2. Étape 2 : **b)** m'(t) = 200 (-0{,}035) e^{-0{,}035t} = -7 \, e^{-0{,}035t}.

   m'(t) = -7 \, e^{-0{,}035t}

3. Étape 3 : m'(t) < 0 pour tout t 0 (car e^{-0{,}035t} > 0). La masse est strictement décroissante : l'échantillon se désintègre au cours du temps.
4. Étape 4 : **c)** m(T) = 100 200 \, e^{-0{,}035T} = 100 e^{-0{,}035T} = 0{,}5 -0{,}035T = (0{,}5) = - 2.
5. Étape 5 : T = 2{0{,}035} = 2{0{,}035} 0{,693}{0{,}035} 19{,}8 années.

   T = 2{0{,}035} 19{,}8 ans

6. Étape 6 : **d)** m(t) < 10 200 \, e^{-0{,}035t} < 10 e^{-0{,}035t} < 0{,}05 -0{,}035t < (0{,}05).
7. Étape 7 : t > -(0{,05)}{0{,}035} = 20{0{,}035} 3{,00}{0{,}035} 85{,}6 années. La masse sera inférieure à 10 g après environ 86 ans.

   t > 20{0{,}035} 85{,}6 ans

8. Étape 8 : **e)** _{t +} m(t) = 200 0 = 0. La masse tend vers 0 : l'échantillon se désintègre totalement à long terme.

   _{t +} m(t) = 0