Problème de modélisation : décroissance radioactive

Énoncé

La masse (en grammes) d'un échantillon radioactif est modélisée par m(t) = 200 \, e^{-0{,}035t}, où t est le temps en années. a) Quelle est la masse initiale de l'échantillon ? b) Calculer m'(t) et interpréter son signe. c) Déterminer la demi-vie de l'échantillon, c'est-à-dire le temps T tel que m(T) = m(0){2}. d) Au bout de combien d'années la masse sera-t-elle inférieure à 10 g ? e) Calculer _{t +} m(t) et interpréter.

Indice : Pour c) et d), résous des équations/inéquations de la forme e^{-0,035t} = k. Utilise .

Correction

1. Étape 1 : Un problème concret, et c'est le vocabulaire qui porte les maths : « demi-vie » veut dire « le temps au bout duquel la moitié a disparu », donc m(T) = m(0){2}. Résoudre e^{kt} = c : On passe au logarithme : kt = (c), donc t = c{k}. ⚠️ Si k < 0 — cas de toute décroissance — une inéquation change de sens à la division. 👉 Et une vigilance de forme : (0{,}5) = \!(1{2}) = - 2. Faire apparaître ce signe moins avant de diviser évite de se retrouver avec un temps négatif.
2. Étape 2 : a) La masse initiale, c'est t = 0 : m(0) = 200\,e^{-0{,}035 0} = 200\,e^0 = 200 1 [formule] 👉 Dans un modèle m(t) = A\,e^{kt}, le coefficient A est toujours la valeur initiale. C'est un contrôle gratuit sur toute modélisation de ce type.

   m(0) = 200 g

3. Étape 3 : b) m(t) = 200\,e^{-0{,}035t}, donc avec u = -0{,}035t et u' = -0{,}035 : m'(t) = 200 (-0{,}035)\,e^{-0{,}035t} [formule] Interprétation. L'exponentielle est strictement positive, donc m'(t) < 0 pour tout t : la masse est strictement décroissante. L'échantillon se désintègre continûment, sans jamais reprendre de masse — ce qui est bien le comportement physique attendu.

   m'(t) = -7\,e^{-0{,}035t} < 0

4. Étape 4 : c) La demi-vie. On cherche T tel que m(T) = 200{2} = 100 : 200\,e^{-0{,}035T} = 100 e^{-0{,}035T} = 0{,}5 On passe au logarithme, en écrivant (0{,}5) = - 2 : -0{,}035\,T = - 2 Les deux signes moins se compensent : [formule] 👉 La demi-vie ne dépend PAS de la masse initiale : le 200 s'est simplifié dès la première ligne. Partir de 200 g ou de 5 kg donne la même demi-vie — c'est la propriété caractéristique de la décroissance exponentielle.

   T = 2{0{,}035} 19{,}8 ans

5. Étape 5 : d) m(t) < 10 200\,e^{-0{,}035t} < 10 e^{-0{,}035t} < 0{,}05 On passe au logarithme (licite car est croissante) : -0{,}035\,t < (0{,}05) ⚠️ On divise maintenant par -0{,}035, qui est négatif : l'inégalité change de sens. t > (0{,05)}{-0{,}035} = - 20{-0{,}035} = 20{0{,}035} [formule] La masse passe sous 10 g au bout d'environ 86 ans. 👉 Contrôle de cohérence : 86 ans, c'est un peu plus de quatre demi-vies (4 19{,}8 = 79{,}2). Or quatre demi-vies divisent la masse par 2^4 = 16, soit 200/16 = 12{,}5 g — encore au-dessus de 10 g. Il faut donc un peu plus, ce qui concorde ✓

   t > 20{0{,}035} 85{,}6 ans

6. Étape 6 : e) Quand t +, l'exposant -0{,}035t -, donc e^{-0{,}035t} 0 : [formule] Interprétation. La masse tend vers 0 : à très long terme l'échantillon est entièrement désintégré. Mais elle ne l'atteint jamais — une exponentielle est strictement positive. Le modèle dit donc qu'il reste toujours une masse infime, ce qui est une limite du modèle : dans la réalité la matière est faite d'atomes en nombre fini. L'erreur classique : Oublier de retourner l'inégalité en d), et annoncer « la masse est inférieure à 10 g avant 85,6 ans » — l'exact contraire. 👉 Le contrôle de bon sens : la masse décroît, donc « être petite » correspond forcément à « t grand ». Un résultat qui dit l'inverse est faux, quel que soit le calcul. À retenir : La demi-vie ne dépend pas de la masse initiale : T = 2{|k|}, et c'est la signature d'une décroissance exponentielle. 👉 Et sur toute inéquation à coefficient négatif dans l'exposant : le sens change, et le bon sens physique le vérifie mieux que le calcul.