Étude complète de f(x) = (x² - 1)eˣ

Énoncé

Soit f(x) = (x^2 - 1)e^x définie sur R. a) Calculer les limites de f en - et +. b) Calculer f'(x), la factoriser et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet. d) En déduire le nombre de solutions de l'équation (x^2 - 1)e^x = 0. e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du produit. Pour les limites en -, utilise la croissance comparée x^n e^x 0.

Correction

1. Étape 1 : Le plus complet du chapitre : trois intervalles de monotonie, deux extremums à valeurs irrationnelles, et une question d) qui se résout sans le tableau. 👉 Le tableau de variations et la résolution de f(x) = 0 sont deux questions indépendantes ici. Le premier décrit la forme de la courbe ; la seconde se règle par une factorisation, puisque e^x ne s'annule jamais. ⚠️ Et la dérivée fait apparaître un trinôme dont les racines sont irrationnelles (-1 2) : il faudra les garder sous forme exacte, une valeur décimale étant inutilisable dans les calculs qui suivent.
2. Étape 2 : a) Les limites. En + : x^2 - 1 + et e^x +, sans indétermination. [formule] En - : forme + 0, indéterminée. On développe : f(x) = x^2e^x - e^x Or x^2e^x 0 et e^x 0 (croissance comparée) : [formule] La droite y = 0 est asymptote horizontale en -.

   _{-} f = 0 ; _{+} f = +

3. Étape 3 : b) Produit, avec u = x^2-1 et v = e^x : f'(x) = 2x\,e^x + (x^2-1)e^x On factorise par e^x : [formule] Comme e^x > 0, le signe est celui du trinôme x^2 + 2x - 1 : = 4 + 4 = 8, = 22 x_1 = -2-2{2}{2} = -1-2 -2{,}41 et x_2 = -1+2 0{,}41 Le coefficient dominant est positif, donc le trinôme est positif à l'extérieur des racines.

   f'(x) = (x^2+2x-1)e^x \ ; x_{1,2} = -1 2

4. Étape 4 : c) Le tableau. | x | - | | -1-2 | | -1+2 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | + | 0 | - | 0 | + | | | f | 0 | | 0{,}43 | | -1{,}25 | | + | Maximum local : f(-1-2) = ((-1-2)^2 - 1)e^{-1-2} = (2+22)\,e^{-1-2} 0{,}43 Minimum local : f(-1+2) = (2-22)\,e^{-1+2} -1{,}25 ℹ️ Le développement employé : (-12)^2 - 1 = 1 22 + 2 - 1 = 2 22.

   f(-1- 2) = (2+2 2)e^{-1- 2} 0{,}43

5. Étape 5 : d) (x^2-1)e^x = 0. C'est un produit nul, et e^x > 0 ne s'annule jamais : x^2 - 1 = 0 x = -1 \ ou \ x = 1 [formule] 👉 Le tableau confirme, sans avoir servi à trouver : la courbe part de 0 en -, monte à 0{,}43, redescend jusqu'à -1{,}25 — donc elle traverse l'axe une première fois — puis remonte vers +, le traversant une seconde fois. Deux traversées, deux solutions ✓ e) f(0) = (0-1)e^0 = -1 et f'(0) = (0+0-1)e^0 = -1. [formule]

   S = \{-1\,;1\} ; T : y = -x-1

6. Étape 6 : L'erreur classique : Chercher les solutions de f(x) = 0 par le TVI sur les trois branches du tableau. C'est possible, long, et cela ne donne que des encadrements — alors que la factorisation donne -1 et 1 exactement, en deux lignes. Le TVI ne sert que lorsqu'on ne sait pas résoudre. 👉 Second piège : arrondir -1 2 dès le tableau. Les valeurs exactes sont nécessaires pour calculer les extremums — (-1- 2)^2 se développe proprement, (-2{,}41)^2 non. À retenir : Factoriser par e^x dans la dérivée, et par e^x encore dans l'équation : la première fois pour lire le signe, la seconde pour résoudre. 👉 Et garder les racines sous forme exacte tant qu'on doit les réinjecter dans des calculs.