Étude complète de f(x) = (x² - 1)eˣ

Énoncé

Soit f(x) = (x^2 - 1)e^x définie sur R. a) Calculer les limites de f en - et +. b) Calculer f'(x), la factoriser et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet. d) En déduire le nombre de solutions de l'équation (x^2 - 1)e^x = 0. e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du produit. Pour les limites en -, utilise la croissance comparée x^n e^x 0.

Correction

1. Étape 1 : **a)** En + : x^2 - 1 + et e^x +, donc f(x) +.

   _{x +} f(x) = +

2. Étape 2 : En - : f(x) = x^2 e^x - e^x. Or _{x -} x^2 e^x = 0 (croissance comparée) et _{x -} e^x = 0. Donc _{x -} f(x) = 0.

   _{x -} f(x) = 0

3. Étape 3 : **b)** f'(x) = 2x e^x + (x^2 - 1) e^x = (x^2 + 2x - 1)e^x.

   f'(x) = (x^2 + 2x - 1)e^x

4. Étape 4 : Le signe de f'(x) est celui de x^2 + 2x - 1 (car e^x > 0). = 4 + 4 = 8. Les racines sont x_1 = -2 - 2{2}{2} = -1 - 2 et x_2 = -1 + 2.
5. Étape 5 : x^2 + 2x - 1 > 0 sur ]- ; -1-2[ ]-1+2 ; +[ et < 0 sur ]-1-2 ; -1+2[.
6. Étape 6 : **c)** f croissante sur ]- ; -1-2], décroissante sur [-1-2 ; -1+2], croissante sur [-1+2 ; +[.
7. Étape 7 : Max local : f(-1-2) = ((-1-2)^2 - 1)e^{-1-2} = (2+22)e^{-1-2}. Min local : f(-1+2) = (2-22)e^{-1+2}.
8. Étape 8 : **d)** f(x) = 0 (x^2 - 1)e^x = 0. Comme e^x > 0, on a x^2 - 1 = 0 x = -1 ou x = 1. Deux solutions.

   S = \{-1 ; 1\}

9. Étape 9 : **e)** f(0) = (0 - 1)e^0 = -1 et f'(0) = (0 + 0 - 1)e^0 = -1. Tangente : y = -1 (x - 0) + (-1) = -x - 1.

   y = -x - 1