Étude de f(x) = x·e⁻ˣ

Énoncé

Soit f(x) = x \, e^{-x} définie sur R. a) Calculer les limites de f en - et +. f admet-elle une asymptote ? b) Calculer f'(x) et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de f. d) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution et la déterminer.

Indice : En +, utilise la croissance comparée x/e^x 0. Pour la dérivée, utilise la formule du produit.

Correction

1. Étape 1 : **a)** En + : f(x) = x{e^x} 0 par croissance comparée. La droite y = 0 est asymptote horizontale en +.

   _{x +} f(x) = 0

2. Étape 2 : En - : x - et e^{-x} +, donc f(x) -. Pas d'asymptote en -.

   _{x -} f(x) = -

3. Étape 3 : **b)** f'(x) = 1 e^{-x} + x (-1) e^{-x} = (1 - x)e^{-x}.

   f'(x) = (1-x)e^{-x}

4. Étape 4 : Comme e^{-x} > 0, le signe de f'(x) est celui de 1 - x. f'(x) > 0 si x < 1, f'(x) = 0 si x = 1, f'(x) < 0 si x > 1.
5. Étape 5 : **c)** f est croissante sur ]- ; 1] et décroissante sur [1 ; +[. Maximum : f(1) = e^{-1} = 1{e}.

   f = f(1) = 1{e}

6. Étape 6 : **d)** f(x) = 0 x \, e^{-x} = 0. Comme e^{-x} 0, on a f(x) = 0 x = 0. L'unique solution est x = 0.

   x = 0