Étude de f(x) = x·e⁻ˣ

Énoncé

Soit f(x) = x \, e^{-x} définie sur R. a) Calculer les limites de f en - et +. f admet-elle une asymptote ? b) Calculer f'(x) et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations de f. d) Montrer que l'équation f(x) = 0 admet une unique solution et la déterminer.

Indice : En +, utilise la croissance comparée x/e^x 0. Pour la dérivée, utilise la formule du produit.

Correction

1. Étape 1 : Une étude complète, dont la question d) réserve une surprise : le TVI n'y sert à rien. 👉 L'équation f(x) = 0 se résout ici directement, par une factorisation — et c'est plus fort qu'un argument de continuité, puisqu'on obtient la solution exacte au lieu d'un encadrement. Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : [formule] ⚠️ Et comme e^{-x} ne s'annule jamais, un seul facteur peut être nul : c'est ce qui donne l'unicité sans aucun théorème.
2. Étape 2 : a) Les limites. En + : f(x) = xe^{-x} = x{e^x} 0 par croissance comparée. [formule] La droite y = 0 est asymptote horizontale en +. En - : x - et e^{-x} + (l'exposant -x tend vers +). Aucune indétermination — les deux facteurs poussent dans le même sens : [formule] Pas d'asymptote de ce côté. 👉 ⚠️ La vigilance est sur e^{-x} en - : l'exposant devient positif, donc l'exponentielle explose au lieu de s'écraser. C'est le contraire de e^x.

   _{-} f = - ; _{+} f = 0

3. Étape 3 : b) Produit, avec u = x et v = e^{-x} (donc v' = -e^{-x}) : f'(x) = 1 e^{-x} + x (-1)e^{-x} On factorise par e^{-x} : [formule] Comme e^{-x} > 0, le signe de f' est celui de 1-x : positif avant 1, négatif après.

   f'(x) = (1-x)e^{-x}

4. Étape 4 : c) Le tableau. | x | - | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | + | 0 | - | | | f | - | | 1{e} | | 0 | Maximum global en x = 1 : f(1) = 1 e^{-1} = 1{e} 0{,}368. ℹ️ Cette valeur 1{e} est la même que le maximum de x{x} du chapitre précédent — ce n'est pas une coïncidence : les deux fonctions se correspondent par la substitution x = e^t.

   f = f(1) = 1{e}

5. Étape 5 : d) f(x) = 0 x\,e^{-x} = 0. C'est un produit nul. Or e^{-x} > 0 pour tout réel : ce facteur ne peut jamais s'annuler. Il reste donc : [formule] [formule] 👉 On n'a pas eu besoin du TVI, et c'est mieux ainsi : le TVI prouverait qu'une solution existe dans un intervalle, alors qu'ici on l'obtient exactement. Un théorème d'existence ne se dégaine que lorsqu'on ne sait pas résoudre. ⚠️ Le tableau, lui, aurait suggéré deux solutions à qui le lit trop vite (la fonction monte de - à 1{e} puis redescend vers 0). Mais elle redescend vers 0 sans jamais l'atteindre — la branche décroissante ne traverse pas l'axe, elle s'en approche.

   x\,e^{-x} = 0 x = 0

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire xe^{-x} = 0 x = 0 ou e^{-x} = 0, et chercher à résoudre la seconde. e^{-x} = 0 n'a aucune solution : l'exponentielle est strictement positive partout. Elle tend vers 0 en + sans jamais l'atteindre — c'est exactement ce que dit une asymptote. 👉 « Tendre vers 0 » et « valoir 0 » sont deux choses différentes, et cette distinction est au cœur de la question d). À retenir : Avant de dégainer le TVI, essayer de résoudre. Un produit nul donne la solution exacte ; le TVI ne donne qu'une existence. 👉 Et e^{u} > 0 toujours : ce facteur ne s'annule jamais, ne change jamais le signe, et disparaît de toutes les équations produit.