Limites et croissances comparées avec exp

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} e^{2x}{x^4} b) _{x -} (x^2 - x + 1)e^x c) _{x +} x^3 + 1{e^x - 1} d) _{x +} (e^x - x^3)

Indice : Utilise les résultats de croissance comparée. Pour d), factorise par e^x.

Correction

1. Étape 1 : Quatre limites, et le théorème de croissance comparée n'est jamais applicable tel quel : il faut chaque fois un geste pour s'y ramener. Les trois gestes : Substituer — poser t = 2x pour retrouver e^t{t^n} ; factoriser par le terme dominant — pour - ; développer — quand chaque morceau a une limite connue. 👉 Le choix se lit sur la forme, pas sur l'apparence : c'est en écrivant « forme {} » ou « forme - » qu'on sait quel geste employer.
2. Étape 2 : a) e^{2x}{x^4} : l'exposant est 2x et non x, donc la forme de référence n'apparaît pas. On substitue t = 2x, donc x = t{2}, et t + : [formule] Or e^t{t^4} + par croissance comparée, et 16 est une constante positive : [formule]

   _{x +} e^{2x}{x^4} = +

3. Étape 3 : b) (x^2-x+1)e^x en - : forme + 0. On développe, chaque morceau ayant une limite connue : (x^2-x+1)e^x = x^2e^x_{\,0} \; -\,xe^x_{\,0} \; + \; e^x_{\,0} Les trois termes relèvent de la croissance comparée x^ne^x 0 (avec n = 2, n = 1, n = 0) : [formule] 👉 Le résultat vaut au-delà de cet exemple : P(x)e^x 0 en - pour tout polynôme P, quel que soit son degré.

   _{x -} (x^2-x+1)e^x = 0

4. Étape 4 : c) x^3+1{e^x-1} : forme +{+}. Le -1 du dénominateur empêche d'appliquer directement le théorème. On factorise le dénominateur par e^x : e^x - 1 = e^x(1 - e^{-x}) [formule] Le premier facteur tend vers 0 (croissance comparée, le +1 n'y change rien), le second vers 1 car e^{-x} 0 : [formule]

   _{x +} x^3+1{e^x-1} = 0

5. Étape 5 : d) e^x - x^3 : forme - . On factorise par le dominant e^x : e^x - x^3 = e^x(1 - x^3{e^x}) Or x^3{e^x} 0, donc la parenthèse tend vers 1 : [formule] 👉 C'est le sens profond de la croissance comparée : quelle que soit la puissance — x^3, x^{10}, x^{100} — l'exponentielle finit par la dépasser, et l'écart tend vers l'infini. Le degré du polynôme ne change rien au résultat, seulement le moment où le dépassement se produit.

   _{x +} (e^x - x^3) = +

6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer le théorème à e^{2x}{x^4} sans substituer, ou à x^3+1{e^x-1} sans factoriser. La forme de référence exige exactement e^t{t^n} : un coefficient dans l'exposant ou un terme ajouté au dénominateur suffisent à l'invalider. Le résultat serait juste par chance ici, mais le raisonnement ne tiendrait pas. 👉 Écrire la forme visée avant de transformer : « je veux e^t{t^n}, donc je pose t = 2x ». À retenir : L'exponentielle l'emporte sur toute puissance — le degré ne change que le moment, jamais l'issue. 👉 Et un terme ajouté (+1, -1) ne change jamais une limite infinie : on le fait disparaître en factorisant par le dominant.