Limites et croissances comparées avec exp

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} e^{2x}{x^4} b) _{x -} (x^2 - x + 1)e^x c) _{x +} x^3 + 1{e^x - 1} d) _{x +} (e^x - x^3)

Indice : Utilise les résultats de croissance comparée. Pour d), factorise par e^x.

Correction

1. Étape 1 : **a)** e^{2x}{x^4}. Posons t = 2x +. e^{t}{(t/2)^4} = 16 e^t{t^4} + par croissance comparée.

   _{x +} e^{2x}{x^4} = +

2. Étape 2 : **b)** Par croissance comparée : _{x -} x^2 e^x = 0, _{x -} (-x)e^x = 0 et _{x -} e^x = 0. Donc la limite vaut 0.

   _{x -} (x^2 - x + 1)e^x = 0

3. Étape 3 : **c)** x^3 + 1{e^x - 1} = x^3 + 1{e^x(1 - e^{-x})}. Or x^3{e^x} 0 et 1 - e^{-x} 1, donc la limite est 0.

   _{x +} x^3 + 1{e^x - 1} = 0

4. Étape 4 : **d)** e^x - x^3 = e^x(1 - x^3{e^x}). Or x^3{e^x} 0, donc 1 - x^3{e^x} 1 et e^x +.

   _{x +} (e^x - x^3) = +