Dérivées de fonctions avec exp composé

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction : a) f(x) = e^{x^2 - 3x} b) g(x) = (2x+1)e^{-3x} c) h(x) = e^x{x+1} sur ]-1 ; +[

Indice : a) (e^u)' = u'e^u. b) Formule du produit. c) Formule du quotient.

Correction

1. Étape 1 : Trois dérivées, trois structures — et un geste commun qui les termine toutes. 👉 Factoriser par l'exponentielle à la fin. Elle est un facteur de chaque terme (c'est la propriété (e^u)' = u'e^u qui la conserve), donc elle sort toujours. Et comme e^u > 0, tout le signe de la dérivée se lit ensuite sur le facteur restant. Identifier la structure d'abord : e^{u} seul composée : u'e^u ; P(x) e^{u} produit ; e^u{P(x)} quotient.
2. Étape 2 : a) f(x) = e^{x^2-3x} : composée, avec u(x) = x^2 - 3x et u'(x) = 2x - 3. [formule] 👉 Le signe se lit immédiatement : e^{x^2-3x} > 0, donc f' est du signe de 2x - 3 — négative avant 3{2}, positive après. La fonction a donc un minimum en x = 3{2}, sans le moindre calcul supplémentaire.

   f'(x) = (2x-3)e^{x^2-3x}

3. Étape 3 : b) g(x) = (2x+1)e^{-3x} : produit, avec u = 2x+1 et v = e^{-3x}. v' = -3e^{-3x} (le -3 vient devant, l'exponentielle est conservée), donc g'(x) = 2 e^{-3x} + (2x+1) (-3)e^{-3x} On factorise par e^{-3x} : g'(x) = (2 - 3(2x+1))e^{-3x} = (2 - 6x - 3)e^{-3x} [formule] ⚠️ Le développement de -3(2x+1) est l'endroit où l'on perd un signe : -6x - 3, les deux termes changent.

   g'(x) = (-6x-1)e^{-3x}

4. Étape 4 : c) h(x) = e^x{x+1} sur ]-1\,;+[ : quotient. h'(x) = e^x(x+1) - e^x 1{(x+1)^2} On factorise le numérateur par e^x : h'(x) = e^x(x+1-1){(x+1)^2} [formule] 👉 La factorisation fait disparaître le +1 et le -1 : sans elle, on garderait xe^x + e^x - e^x{(x+1)^2}, correct mais illisible. Le signe est celui de x, puisque e^x > 0 et (x+1)^2 > 0.

   h'(x) = x\,e^x{(x+1)^2}

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier le facteur u' en b) : écrire (e^{-3x})' = e^{-3x} au lieu de -3e^{-3x}. L'erreur ne se voit pas — le résultat garde la bonne forme — mais elle change le signe de la dérivée, donc tout le tableau de variations. 👉 Le contrôle : dériver e^{kx} doit toujours faire apparaître le facteur k. Si la dérivée ressemble trait pour trait à la fonction, c'est qu'on a oublié quelque chose (sauf pour e^x lui-même, où k = 1). À retenir : Factoriser par l'exponentielle à la fin de chaque dérivée : elle est toujours en facteur, et comme elle est positive, le signe se lit sur ce qui reste. 👉 Et dans un quotient, factoriser le numérateur avant de conclure : c'est là que les simplifications ont lieu.