Inéquations avec exp

Énoncé

Résoudre dans R : a) e^{2x-1} > e^{x+3} b) e^{-x+5} e^{2} c) e^{x^2} < e^{9}

Indice : est strictement croissante, donc e^A > e^B A > B.

Correction

1. Étape 1 : Trois inéquations. Aucun domaine à calculer, mais deux pièges distincts qu'il faut savoir séparer : ⚠️ un coefficient négatif devant x retourne l'inégalité au moment de la division (b) ; ⚠️ un exposant au carré donne une inéquation du second degré, dont la solution est un intervalle borné des deux côtés (c). 👉 Dans les deux cas, l'exponentielle disparaît d'abord — elle est croissante, donc le passage aux exposants est direct. Ce qui se passe après est de l'algèbre ordinaire.
2. Étape 2 : a) e^{2x-1} > e^{x+3}. Par croissance de : 2x - 1 > x + 3 x > 4 [formule]

   S = \,]4\,;+[

3. Étape 3 : b) e^{-x+5} e^2, donc -x + 5 2 -x -3 On divise par -1, qui est négatif : l'inégalité change de sens. [formule] [formule] Contrôle : x = 3 donne e^{-3+5} = e^2 e^2 ✓ (l'inégalité est large, la borne est donc incluse).

   S = [3\,;+[

4. Étape 4 : c) e^{x^2} < e^9, donc x^2 < 9 ⚠️ Ce n'est pas x < 3. L'inéquation x^2 < 9 signifie « x est à distance moins de 3 de zéro », donc [formule] [formule] 👉 Le contrôle qui le prouve : x = -5 vérifierait x < 3, mais (-5)^2 = 25 > 9 — donc e^{25} < e^9 serait faux. La solution est bien bornée des deux côtés.

   S = \,]-3\,;3[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire x^2 < 9 x < 3. C'est perdre la moitié de la condition. x^2 < 9 équivaut à |x| < 3, donc à -3 < x < 3 — un intervalle borné. 👉 Le réflexe qui protège : devant x^2 < a (avec a > 0), penser distance à zéro, et écrire les deux bornes. Et devant x^2 > a, c'est l'inverse : la solution est la réunion ]-\,;-a[ \,\, ]a\,;+[. À retenir : L'exponentielle disparaît directement — pas de domaine, pas de tri. 👉 Ce qui reste est de l'algèbre : attention au signe du coefficient (b) et au carré (c). Ces deux pièges n'ont rien à voir avec l'exponentielle, et c'est pour cela qu'on les rate.