Équations avec exp

Énoncé

Résoudre dans R les équations suivantes : a) e^{x^2 - 4} = 1 b) e^{3x+2} = e^{x-6} c) e^{2x} - 5e^x + 4 = 0

Indice : a) 1 = e^0. b) Identifie les exposants. c) Pose X = e^x > 0 pour obtenir une équation du second degré.

Correction

1. Étape 1 : Trois équations, et la troisième change de nature : elle est du second degré déguisé. Reconnaître un second degré en e^x : Quand une équation contient e^{2x} et e^x, on pose X = e^x. Alors e^{2x} = (e^x)^2 = X^2, et l'équation devient un trinôme ordinaire. ⚠️ La contrainte X > 0 est essentielle, et c'est elle qu'on oublie : une racine négative du trinôme ne donne aucune solution, puisqu'une exponentielle n'est jamais négative. 👉 Le retour à x n'est pas une formalité : chaque X acceptable donne x = (X).
2. Étape 2 : a) e^{x^2-4} = 1 = e^0, donc en identifiant les exposants : x^2 - 4 = 0 x^2 = 4 x = -2 \ ou \ x = 2 [formule] 👉 Les deux solutions conviennent, la négative comprise : il n'y a aucun domaine à respecter, e^{x^2-4} existant pour tout réel. C'est la différence avec les équations en , où il aurait fallu trier.

   S = \{-2\,;2\}

3. Étape 3 : b) Structure e^A = e^B : 3x + 2 = x - 6 2x = -8 x = -4 [formule] 👉 Là encore, une solution négative ne pose aucun problème — c'est l'exposant qui est négatif, pas l'exponentielle.

   x = -4

4. Étape 4 : c) L'équation contient e^{2x} et e^x : on pose X = e^x, en notant que X > 0. X^2 - 5X + 4 = 0 = 25 - 16 = 9, = 3 X_1 = 5-3{2} = 1 et X_2 = 5+3{2} = 4 Contrôle de la contrainte : 1 > 0 ✓ et 4 > 0 ✓ — les deux sont acceptables.

   X^2 - 5X + 4 = 0 X \{1\,;4\}

5. Étape 5 : Le retour à x — l'étape qu'on oublie après avoir résolu le trinôme : e^x = 1 x = 0 e^x = 4 x = 4 = 2 2 [formule] Vérification de la seconde : e^{2 2 2} - 5e^{2 2} + 4 = 4^2 - 5 4 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0 ✓

   S = \{0\,;\,2 2\}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Répondre S = \{1\,;4\} — c'est-à-dire s'arrêter aux valeurs de X. X n'est pas l'inconnue : c'est e^x. Il reste à résoudre e^x = 1 et e^x = 4. L'oubli est d'autant plus facile que le trinôme donne des nombres « propres » qui ressemblent à des réponses. 👉 Second piège, dans l'autre sens : garder une racine négative. Si le trinôme avait donné X = -2, il aurait fallu la rejeter, e^x = -2 n'ayant pas de solution. À retenir : e^{2x} et e^x dans la même équation poser X = e^x, avec X > 0. 👉 Et toujours revenir à x : chaque X positif donne x = X.