Équations avec exp

Énoncé

Résoudre dans R les équations suivantes : a) e^{x^2 - 4} = 1 b) e^{3x+2} = e^{x-6} c) e^{2x} - 5e^x + 4 = 0

Indice : a) 1 = e^0. b) Identifie les exposants. c) Pose X = e^x > 0 pour obtenir une équation du second degré.

Correction

1. Étape 1 : **a)** e^{x^2 - 4} = 1 = e^0 x^2 - 4 = 0 x^2 = 4 x = -2 ou x = 2.

   S = \{-2 ; 2\}

2. Étape 2 : **b)** e^{3x+2} = e^{x-6} 3x + 2 = x - 6 2x = -8 x = -4.

   x = -4

3. Étape 3 : **c)** On pose X = e^x > 0. L'équation devient X^2 - 5X + 4 = 0. = 25 - 16 = 9.
4. Étape 4 : X_1 = 5 - 3{2} = 1 et X_2 = 5 + 3{2} = 4. Les deux valeurs sont positives.
5. Étape 5 : e^x = 1 x = 0 et e^x = 4 x = 4 = 2 2. Solution : S = \{0 ; 2 2\}.

   S = \{0 ; 2 2\}