Étude complète de f(x) = x²·e⁻ˣ

Énoncé

Soit f(x) = x^2 e^{-x} définie sur R. a) Calculer les limites de f en - et +. b) Calculer f'(x), la factoriser et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet de f. d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du produit. Pour la factorisation, mets e^{-x} en facteur.

Correction

1. Étape 1 : **a)** En + : x^2 e^{-x} = x^2{e^x} 0 par croissance comparée.

   _{x +} f(x) = 0

2. Étape 2 : En - : x^2 + et e^{-x} +, donc f(x) +.

   _{x -} f(x) = +

3. Étape 3 : **b)** f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 (-1) e^{-x} = (2x - x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}.
4. Étape 4 : Comme e^{-x} > 0, le signe de f'(x) est celui de x(2-x).
5. Étape 5 : x(2-x) = 0 x = 0 ou x = 2. x(2-x) > 0 sur ]0 ; 2[, x(2-x) < 0 sur ]- ; 0[ ]2 ; +[.
6. Étape 6 : **c)** f décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; 2], décroissante sur [2 ; +[. Min local : f(0) = 0. Max local : f(2) = 4e^{-2}.
7. Étape 7 : **d)** f(0) = 0 et f'(0) = 0 2 e^0 = 0. L'équation de la tangente en 0 est y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 0.

   y = 0

8. Étape 8 : La tangente au point d'abscisse 0 est l'axe des abscisses : la courbe est tangente à l'axe Ox en O.