Étude complète de f(x) = x²·e⁻ˣ

Énoncé

Soit f(x) = x^2 e^{-x} définie sur R. a) Calculer les limites de f en - et +. b) Calculer f'(x), la factoriser et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet de f. d) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du produit. Pour la factorisation, mets e^{-x} en facteur.

Correction

1. Étape 1 : Une étude à trois intervalles de monotonie — la dérivée s'annule deux fois — et une tangente qui réserve une particularité géométrique. 👉 Le mécanisme est toujours le même : dériver, factoriser par e^{-x}, et lire le signe sur le polynôme restant. Ici ce polynôme est du second degré, d'où deux racines et trois intervalles. ⚠️ Vigilance sur les limites : e^{-x} explose en - (l'exposant -x y devient positif). Combiné à x^2 +, il n'y a donc aucune indétermination de ce côté — c'est en + que la croissance comparée sert.
2. Étape 2 : a) Les limites. En + : f(x) = x^2e^{-x} = x^2{e^x} 0 par croissance comparée. [formule] Asymptote horizontale y = 0, que la courbe approche par au-dessus puisque x^2e^{-x} > 0. En - : x^2 + et e^{-x} +, donc [formule]

   _{-} f = + ; _{+} f = 0

3. Étape 3 : b) Produit, avec u = x^2 et v = e^{-x} : f'(x) = 2x\,e^{-x} + x^2 (-1)e^{-x} On factorise par e^{-x}, puis par x : f'(x) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2-x)\,e^{-x} Comme e^{-x} > 0, le signe est celui de x(2-x) — un trinôme de racines 0 et 2, de coefficient dominant négatif (-x^2), donc positif entre les racines : f' > 0 sur ]0\,;2[, f' < 0 ailleurs.

   f'(x) = x(2-x)e^{-x}

4. Étape 4 : c) Le tableau. | x | - | | 0 | | 2 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | - | 0 | + | 0 | - | | | f | + | | 0 | | 4{e^2} | | 0 | Minimum local en 0 : f(0) = 0 — et c'est aussi le minimum global, la fonction étant positive partout. Maximum local en 2 : f(2) = 4e^{-2} = 4{e^2} 0{,}541.

   f(0) = 0 ; f(2) = 4{e^2} 0{,}541

5. Étape 5 : d) f(0) = 0 et f'(0) = 0 2 e^0 = 0. La tangente au point (0\,;0) a donc pour équation y = 0 (x-0) + 0 : [formule] La tangente est l'axe des abscisses lui-même. 👉 C'est la traduction géométrique d'un fait qu'on voit sur le tableau : f atteint 0 en x = 0 sans changer de signe (elle est positive de part et d'autre). La courbe touche l'axe sans le traverser — comme une parabole touche l'axe à sa racine double. ⚠️ Le point (0\,;0) est donc à la fois un point de la courbe, un minimum, et un point de tangence à l'axe : trois faits qui se confirment mutuellement, et c'est un bon contrôle de cohérence.

   T : y = 0 (l\'axe Ox)

6. Étape 6 : L'erreur classique : Lire le signe de x(2-x) comme celui d'un trinôme à coefficient dominant positif, et conclure « positif à l'extérieur des racines ». Développé, x(2-x) = -x^2 + 2x : le coefficient de x^2 vaut -1. La parabole est une colline, donc positive entre les racines. Un tableau inversé donnerait exactement les variations opposées. 👉 Le contrôle en trois secondes : tester x = 1, qui est entre les racines. 1 (2-1) = 1 > 0 ✓. À retenir : Factoriser par e^{-x}, puis lire le signe du polynôme — en vérifiant le signe de son coefficient dominant. 👉 Et une dérivée nulle en un point où la fonction s'annule sans changer de signe donne une tangente horizontale confondue avec l'axe : la courbe le touche sans le traverser.