Limites avec croissance comparée

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} x^3 e^{-x} b) _{x +} (e^x - x^2) c) _{x -} (x^2 + 1)e^x

Indice : Utilise les résultats de croissance comparée : e^x{x^n} + en + et x^n e^x 0 en -.

Correction

1. Étape 1 : Trois limites indéterminées, et un seul théorème pour les trois. Croissances comparées : [formule] 👉 En une phrase : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, aussi grande soit-elle. Même x^{100} perd face à e^x. ⚠️ Et c'est vrai aux deux bouts : en + l'exponentielle explose plus vite ; en - elle s'écrase plus vite. Les deux formes sont indéterminées, et l'exponentielle gagne les deux.
2. Étape 2 : a) x^3 e^{-x} : forme + 0, indéterminée. On réécrit pour retrouver la forme de référence : [formule] C'est l'inverse de e^x{x^3}, qui tend vers + : [formule] 👉 Le geste — passer de e^{-x} à 1{e^x} — est ce qui fait apparaître la forme du théorème. Sans lui, on reste devant une indétermination.

   _{x +} x^3 e^{-x} = 0

3. Étape 3 : b) e^x - x^2 : forme - , indéterminée. On factorise par le terme dominant, ici e^x : e^x - x^2 = e^x(1 - x^2{e^x}) Or x^2{e^x} 0, donc la parenthèse tend vers 1, et e^x + : [formule] 👉 Factoriser par le dominant transforme une différence en produit — et un produit n'est plus indéterminé dès que chaque facteur a une limite.

   _{x +}(e^x - x^2) = +

4. Étape 4 : c) (x^2+1)e^x en - : forme + 0, indéterminée. On développe pour se ramener aux formes de référence : (x^2+1)e^x = x^2e^x + e^x Or x^2 e^x 0 (croissance comparée) et e^x 0 : [formule] 👉 Développer plutôt que factoriser, parce qu'ici chaque morceau a une limite connue. Le choix entre les deux gestes se fait toujours ainsi : celui qui fait apparaître des limites connues.

   _{x -} (x^2+1)e^x = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure en - que (x^2+1)e^x + parce que x^2 + 1 +. C'est ignorer que l'autre facteur tend vers 0 — et qu'il gagne. La croissance comparée dit précisément que e^x écrase x^2, y compris quand elle tend vers zéro. 👉 Réflexe : nommer la forme avant de conclure. « 0, indéterminée » interdit de trancher au jugé et oblige à transformer. À retenir : L'exponentielle l'emporte sur toute puissance, aux deux bouts. 👉 Trois gestes selon la forme : réécrire e^{-x} = 1{e^x}, factoriser par le dominant pour - , développer quand chaque morceau a une limite connue.