Limites avec croissance comparée

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} x^3 e^{-x} b) _{x +} (e^x - x^2) c) _{x -} (x^2 + 1)e^x

Indice : Utilise les résultats de croissance comparée : e^x{x^n} + en + et x^n e^x 0 en -.

Correction

1. Étape 1 : **a)** x^3 e^{-x} = x^3{e^x} 0 par croissance comparée (n = 3).

   _{x +} x^3 e^{-x} = 0

2. Étape 2 : **b)** On factorise par e^x : e^x - x^2 = e^x(1 - x^2{e^x}). Or x^2{e^x} 0, donc 1 - x^2{e^x} 1 et e^x +.
3. Étape 3 : Donc _{x +} (e^x - x^2) = +.

   _{x +} (e^x - x^2) = +

4. Étape 4 : **c)** _{x -} x^2 e^x = 0 (croissance comparée) et _{x -} e^x = 0, donc _{x -} (x^2 + 1)e^x = 0.

   _{x -} (x^2+1)e^x = 0