Équation avec changement de variable e²ˣ - 5eˣ + 6 = 0

Énoncé

Résoudre dans R l'équation e^{2x} - 5e^x + 6 = 0.

Indice : Pose X = e^x et résous l'équation du second degré en X.

Correction

1. Étape 1 : Un second degré déguisé, dans sa forme la plus pure. Le mécanisme est le même qu'en 18009 c), et il vaut d'être vu isolément. Le changement de variable : On pose X = e^x. Alors e^{2x} = (e^x)^2 = X^2, et X > 0 nécessairement. 👉 L'égalité e^{2x} = X^2 est le cœur du procédé, et elle repose sur e^{2x} = (e^x)^2 — la règle (e^a)^n = e^{an} lue à l'envers. ⚠️ e^{2x} n'est PAS 2e^x. C'est la confusion qui fait rater le changement de variable : e^{2x} = (e^x)^2, un carré, pas un double.
2. Étape 2 : Avec X = e^x, l'équation e^{2x} - 5e^x + 6 = 0 devient : [formule] = 25 - 24 = 1, = 1 X_1 = 5-1{2} = 2 et X_2 = 5+1{2} = 3

   X^2 - 5X + 6 = 0 X \{2\,;3\}

3. Étape 3 : Contrôle de la contrainte : 2 > 0 ✓ et 3 > 0 ✓ — les deux racines sont acceptables. Retour à x : e^x = 2 x = 2 e^x = 3 x = 3 [formule] ℹ️ Numériquement, 2 0{,}69 et 3 1{,}10.

   S = \{ 2\,; 3\}

4. Étape 4 : La vérification, sur la première solution : x = 2, donc e^x = 2 et e^{2x} = (e^x)^2 = 4. e^{2x} - 5e^x + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 ✓ 👉 Cette vérification est rapide justement grâce au changement de variable : on n'a jamais besoin d'une valeur décimale, tout se fait avec e^{ 2} = 2.

   4 - 10 + 6 = 0 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire e^{2x} = 2e^x, et « résoudre » 2e^x - 5e^x + 6 = 0, soit -3e^x = -6 et x = 2. Le résultat ressemble à une bonne réponse — il en donne même une des deux ! — mais le raisonnement est faux, et l'autre solution disparaît. Un résultat partiellement juste obtenu par un raisonnement faux est le pire des cas : rien ne le signale. 👉 Le contrôle : e^{2 1} = e^2 7{,}39, alors que 2e^1 5{,}44. Deux nombres différents. À retenir : e^{2x} = (e^x)^2 — un carré, jamais un double. 👉 Et le changement de variable rend la vérification facile : avec e^{ k} = k, tout reste exact, sans décimale.