Étude de f(x) = (x-1)eˣ

Énoncé

Soit f(x) = (x - 1)e^x définie sur R. a) Calculer f'(x) et factoriser. b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations de f. c) Calculer les limites de f en - et +.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du produit. Pour les limites, utilise la croissance comparée.

Correction

1. Étape 1 : Le premier vrai schéma d'étude du chapitre, et il repose entièrement sur une seule propriété : [formule] 👉 Conséquence immédiate : après avoir dérivé et factorisé par e^x, le signe de la dérivée est celui du facteur restant — un polynôme, dont le signe est facile. ⚠️ Et pour les limites en -, il faudra la croissance comparée : x^n e^x 0. C'est une forme indéterminée (-) 0, donc elle ne se conclut pas au jugé.
2. Étape 2 : a) f(x) = (x-1)e^x est un produit. Avec u = x - 1 et v = e^x : f'(x) = 1 e^x + (x-1) e^x On factorise par e^x : f'(x) = (1 + x - 1)e^x [formule] 👉 La simplification est frappante : la dérivée de (x-1)e^x est xe^x. Ce décalage d'une unité est ce qui rend ces fonctions si commodes en intégration.

   f'(x) = x\,e^x

3. Étape 3 : b) Comme e^x > 0, le signe de f' est celui de x : | x | - | | 0 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | - | 0 | + | | | f | 0 | | -1 | | + | Minimum global en x = 0 : f(0) = (0-1)e^0 = -1 1 = -1.

   f = f(0) = -1

4. Étape 4 : c) Les limites. En + : x - 1 + et e^x +. Aucune indétermination, les deux facteurs vont dans le même sens : [formule] En - : x - 1 - et e^x 0. C'est une forme indéterminée 0. On développe pour se ramener aux formes de référence : f(x) = xe^x - e^x Or xe^x 0 (croissance comparée) et e^x 0 : [formule] 👉 La droite y = 0 est donc asymptote horizontale en - : la courbe s'écrase sur l'axe des abscisses par en dessous, puisqu'elle y est négative.

   _{-} f = 0 ; _{+} f = +

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « x - 1 - donc f - » en -. C'est traiter une forme indéterminée comme si elle ne l'était pas : e^x tend vers 0, et il gagne. La croissance comparée dit exactement cela — l'exponentielle écrase toute puissance de x, y compris quand elle tend vers 0. 👉 Le réflexe : nommer la forme (« 0, indéterminée ») avant de conclure. Écrire ces trois mots oblige à chercher une transformation. À retenir : e^x > 0 toujours : après factorisation, le signe de la dérivée est celui du polynôme restant. 👉 Et en -, e^x l'emporte sur toute puissance de x : x^n e^x 0. C'est ce qui crée les asymptotes horizontales de ce chapitre.