Étude de f(x) = (x-1)eˣ

Énoncé

Soit f(x) = (x - 1)e^x définie sur R. a) Calculer f'(x) et factoriser. b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations de f. c) Calculer les limites de f en - et +.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du produit. Pour les limites, utilise la croissance comparée.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f'(x) = 1 e^x + (x-1) e^x = (1 + x - 1)e^x = x \, e^x.

   f'(x) = x \, e^x

2. Étape 2 : **b)** e^x > 0 toujours, donc le signe de f'(x) est celui de x.
3. Étape 3 : f'(x) < 0 si x < 0, f'(x) = 0 si x = 0, f'(x) > 0 si x > 0. f est décroissante sur ]- ; 0] et croissante sur [0 ; +[. Minimum : f(0) = -1.

   f(0) = -1

4. Étape 4 : **c)** En + : (x-1)e^x + (produit de deux termes tendant vers +).
5. Étape 5 : En - : f(x) = (x-1)e^x. Or _{x -} x e^x = 0 (croissance comparée) et _{x -} e^x = 0, donc _{x -} f(x) = 0.

   _{x -} f(x) = 0