Résoudre une inéquation exponentielle

Énoncé

Résoudre dans R : a) e^x > e^3 b) e^{-2x+1} 1

Indice : est strictement croissante : e^a > e^b a > b. Et 1 = e^0.

Correction

1. Étape 1 : Comme pour , la croissance de conserve le sens de l'inégalité. Mais il y a un piège propre à ce chapitre, absent des inéquations en : ⚠️ le coefficient de x dans l'exposant peut être NÉGATIF. Après avoir enlevé les exponentielles, on se retrouve alors à diviser par un nombre négatif — et là, l'inégalité change de sens. 👉 Ce n'est pas l'exponentielle qui retourne l'inégalité : c'est la division qui suit. Distinguer les deux évite l'erreur. ℹ️ Et pas de domaine à calculer : e^x existe partout.
2. Étape 2 : a) e^x > e^3. étant strictement croissante, l'inégalité se transmet aux exposants dans le même sens : x > 3 [formule]

   S = \,]3\,;+[

3. Étape 3 : b) e^{-2x+1} 1. On écrit d'abord 1 = e^0 : e^{-2x+1} e^0 -2x + 1 0 Ici, et ici seulement, l'inégalité va changer de sens : -2x -1, puis on divise par -2 qui est négatif : [formule] [formule]

   S = [1{2}\,;+[

4. Étape 4 : Le contrôle qui prend dix secondes, et qui vaut d'être fait systématiquement sur ce type d'inéquation : on teste une valeur de la solution annoncée. Prenons x = 1, qui est bien dans [1{2}\,;+[ : e^{-2 1 + 1} = e^{-1} 0{,}37, et 0{,}37 1 ✓ Et une valeur hors de la solution, x = 0 : e^{-2 0 + 1} = e^1 2{,}72, et 2{,}72 1 est faux ✓ 👉 Les deux essais confirment le sens de l'inégalité. Avec un sens inversé par erreur, le second essai aurait échoué.

   x = 1 : e^{-1} 0{,}37 1 \

5. Étape 5 : L'erreur classique : Oublier de retourner l'inégalité en divisant par -2, et annoncer x 1{2}. L'erreur est invisible sur la ligne de calcul : elle ne se voit qu'en testant une valeur. C'est pourquoi le contrôle de l'étape précédente n'est pas un luxe. 👉 Repère utile : un exposant à coefficient négatif décrit une fonction décroissante — plus x grandit, plus e^{-2x+1} est petit. Il est donc normal que « être petit » corresponde à « x grand ». À retenir : est croissante : le sens se conserve au passage aux exposants. 👉 Mais si le coefficient de x est négatif, la division qui suit retourne l'inégalité. Deux étapes distinctes, un seul changement de sens.