Dériver des fonctions avec exp

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction : a) f(x) = e^{5x} b) g(x) = e^{-x^2} c) h(x) = xe^x

Indice : Utilise (e^u)' = u'e^u et la dérivée d'un produit pour h.

Correction

1. Étape 1 : Une seule formule, et elle a une propriété que peu de fonctions possèdent. Dériver une exponentielle : [formule] 👉 e^x est sa propre dérivée — la seule fonction non nulle dans ce cas. C'est ce qui explique qu'elle apparaisse partout où une grandeur croît proportionnellement à elle-même : population, capital, désintégration. ⚠️ Pour la composée, le u' vient devant, pas au dénominateur. C'est la différence d'écriture avec ( u)' = u'{u} — deux formules voisines, deux places différentes pour u'.
2. Étape 2 : a) f(x) = e^{5x} : u(x) = 5x, donc u'(x) = 5. [formule] 👉 De façon générale, (e^{kx})' = k\,e^{kx} : dériver multiplie par le coefficient de x. C'est cette propriété qui fait apparaître les exponentielles dans les équations différentielles.

   f'(x) = 5e^{5x}

3. Étape 3 : b) g(x) = e^{-x^2} : u(x) = -x^2, donc u'(x) = -2x. [formule] ⚠️ Le signe se garde : u' = -2x et non 2x. C'est l'étourderie la plus fréquente sur cette forme, et elle inverse tout le sens de variation. ℹ️ Cette fonction est celle de la « courbe en cloche » de Gauss, à un coefficient près — on la retrouvera en probabilités.

   g'(x) = -2x\,e^{-x^2}

4. Étape 4 : c) h(x) = xe^x : c'est un produit, pas une composée. On applique (uv)' = u'v + uv' : h'(x) = 1 e^x + x e^x On factorise par e^x — geste systématique, car c'est lui qui rendra le signe lisible : [formule] 👉 Comme e^x > 0 toujours, le signe de h' est celui de 1 + x. La factorisation n'est donc pas cosmétique : c'est elle qui donne le tableau de variations.

   h'(x) = (1+x)e^x

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire (e^{-x^2})' = e^{-2x} — en dérivant l'exposant à la place de l'exponentielle. L'exponentielle ne disparaît jamais en dérivant : elle est conservée, et multipliée par u'. Un contrôle rapide : la dérivée doit toujours contenir un facteur e^{u} avec le même u. À retenir : (e^u)' = u'e^u — le u' devant, l'exponentielle intacte. 👉 Et factoriser par e^x après chaque dérivée : comme e^x > 0, tout le signe se lit alors sur le facteur restant.