Résoudre des équations exponentielles simples

Énoncé

Résoudre dans R : a) e^x = 1 b) e^{2x-3} = e^5 c) e^x = 4

Indice : e^a = e^b a = b et e^a = k a = (k) pour k > 0.

Correction

1. Étape 1 : Une équation en e se résout sans jamais se soucier du domaine — et c'est ce qui la distingue des équations en . est strictement croissante sur R : [formule] 👉 Pas de domaine à calculer : e^x existe pour tout réel. C'est l'inverse exact du logarithme, où la première étape est toujours le domaine. ⚠️ En revanche, la contrainte se déplace sur le second membre : e^A = k n'a de solution que si k > 0, puisqu'une exponentielle est toujours strictement positive. Une équation e^x = -3 n'a donc aucune solution — et ce n'est pas une erreur de calcul, c'est la réponse.
2. Étape 2 : a) On reconnaît 1 = e^0 : e^x = 1 = e^0 x = 0 [formule] 👉 Écrire 1 sous la forme e^0 est le geste qui rend l'équation immédiate. C'est le pendant exact de (1) = 0.

   x = 0

3. Étape 3 : b) Structure e^A = e^B : on enlève les deux exponentielles, car est strictement croissante donc injective. e^{2x-3} = e^5 2x - 3 = 5 2x = 8 x = 4 [formule]

   x = 4

4. Étape 4 : c) Ici le second membre n'est pas une puissance de e : on passe au logarithme. e^x = 4 x = (4) Et (4) = (2^2) = 2(2) : [formule] 👉 Les deux écritures sont également correctes. On préfère 2 2 quand 2 apparaît ailleurs dans l'exercice ; sinon 4 suffit. ⚠️ Ce passage n'est licite que parce que 4 > 0. C'est là qu'il faut vérifier le signe du second membre, pas au début.

   x = 4 = 2 2

5. Étape 5 : L'erreur classique : Chercher un domaine, ou au contraire oublier que e^x = k exige k > 0. Les deux erreurs sont symétriques et viennent du même endroit : on transpose mécaniquement la méthode du logarithme. La contrainte a changé de côté — elle porte sur le second membre, pas sur l'inconnue. 👉 Devant e^x = -3 : la réponse est S = , et il faut l'écrire — pas rester bloqué à chercher une erreur de calcul. À retenir : e^A = e^B A = B, sans condition. e^A = k A = k, si k > 0. 👉 Et le réflexe qui débloque : écrire le second membre comme une puissance de e quand c'est possible (1 = e^0, e = e^1).