Simplifier des expressions exponentielles

Énoncé

Simplifier les expressions suivantes : a) A = e^3 e^{-1} e^2 b) B = (e^2)^3{e^4} c) C = e^{ 7}

Indice : Utilise les propriétés e^{a+b} = e^a e^b et (e^a)^n = e^{na}.

Correction

1. Étape 1 : L'exponentielle transforme les sommes en produits — c'est l'exact miroir du logarithme, et toutes ses règles en découlent. Les quatre règles : [formule] [formule] 👉 Toutes se ramènent à la première. On additionne les exposants dans un produit, on les soustrait dans un quotient, on les multiplie dans une puissance — comme pour n'importe quelle puissance, à ceci près que la base e ne change jamais. ⚠️ Et deux valeurs à reconnaître au premier coup d'œil : e^0 = 1 et e^1 = e.
2. Étape 2 : a) Un produit de trois exponentielles : on additionne les exposants, en respectant leurs signes. A = e^3 e^{-1} e^2 = e^{3 + (-1) + 2} [formule] 👉 e^4 est la réponse. Comme pour (10), il n'y a pas d'écriture plus simple — une valeur décimale serait moins précise, pas plus claire.

   A = e^4

3. Étape 3 : b) Ici deux règles s'enchaînent. D'abord la puissance d'une puissance — on multiplie : (e^2)^3 = e^{2 3} = e^6 Puis le quotient — on soustrait : B = e^6{e^4} = e^{6-4} [formule]

   B = e^2

4. Étape 4 : c) C = e^{ 7} : c'est la règle qui relie les deux fonctions du programme. [formule] et sont réciproques : appliquer l'une puis l'autre ramène au point de départ. [formule] 👉 Et la relation vaut dans les deux sens : (e^x) = x pour tout réel x. La condition x > 0 ne porte que sur le premier sens, puisque n'accepte que des arguments positifs.

   C = e^{ 7} = 7

5. Étape 5 : L'erreur classique : Écrire e^a e^b = e^{ab}, ou (e^a)^n = e^{a+n}. Les deux règles se confondent parce qu'elles se ressemblent. Le contrôle numérique tranche en cinq secondes : e^1 e^1 = e^2, alors que e^{1 1} = e. Deux résultats différents, donc la première écriture est fausse. 👉 Produit on additionne. Puissance on multiplie. C'est la même règle que pour 2^3 2^4 = 2^7, apprise bien avant. À retenir : e^a e^b = e^{a+b} — tout le reste s'en déduit. 👉 Et e^{ x} = x : et s'annulent l'une l'autre. C'est ce qui permettra de résoudre les équations du chapitre.