Problème d'optimisation avec ln

Énoncé

Un industriel fabrique x milliers de pièces (x > 0). Le coût total de production (en milliers d'euros) est C(x) = x + 2 et la recette est R(x) = 5(x + 1). Le bénéfice est B(x) = R(x) - C(x) = 5(x + 1) - x - 2. a) Calculer B'(x) et résoudre B'(x) = 0. b) Dresser le tableau de variations de B sur ]0 ; +[. c) Déterminer la quantité x_0 qui maximise le bénéfice et calculer B(x_0). d) Déterminer les quantités pour lesquelles la production est rentable (B(x) 0).

Indice : Pour d), utilise le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires.

Correction

1. Étape 1 : Un problème d'économie où le vocabulaire porte les maths : bénéfice = recette - coût, et « rentable » veut dire B(x) 0. Optimiser un bénéfice : 1. dériver B, résoudre B'(x) = 0 ; 2. tableau de variations, avec les limites aux bornes du domaine ; 3. le maximum donne la quantité optimale ; 4. la rentabilité se lit par le signe de B, donc par le TVI aux endroits où elle change. ⚠️ Le domaine est ]0\,;+[ — ouvert en 0. On ne peut donc pas écrire B(0) : il faudra passer par la limite en 0^+. ℹ️ Unités : x est en milliers de pièces et B(x) en milliers d'euros. Il faudra y revenir pour répondre en pièces.
2. Étape 2 : a) B(x) = 5(x+1) - x - 2. La dérivée de (x+1) est 1{x+1} (formule u'{u} avec u' = 1) : B'(x) = 5{x+1} - 1 On met au même dénominateur : [formule] B'(x) = 0 4 - x = 0 x = 4

   B'(x) = 4-x{x+1} \ ; B'(x) = 0 x = 4

3. Étape 3 : b) Sur ]0\,;+[, on a x + 1 > 0 : le signe de B' est celui de 4-x. Les valeurs aux bornes — la limite en 0^+ s'obtient par continuité de l'expression : _{x 0^+} B(x) = 5(1) - 0 - 2 = -2 _{x +} B(x) = -, car B(x) = x(5(x+1){x} - 1) - 2 et (x+1){x} 0, donc la parenthèse tend vers -1. | x | 0 | | 4 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | B' | | + | 0 | - | | | B | -2 | | 2{,}05 | | - | ⚠️ Le -2 est une limite, pas une valeur : B n'est pas définie en 0.

   _{0^+} B = -2 ; _{+} B = -

4. Étape 4 : c) Le maximum est atteint en x_0 = 4 : B(4) = 5(5) - 4 - 2 = 5(5) - 6 5(5) 5 1{,}609 = 8{,}047, donc [formule] Traduction : produire 4 000 pièces rapporte un bénéfice maximal d'environ 2 050 €.

   x_0 = 4 \ (4 000 pièces) \ ; B_{} = 5 5 - 6 2{,}05

5. Étape 5 : d) La rentabilité. On cherche où B(x) 0, donc où la courbe est au-dessus de l'axe. Le tableau montre que B part de -2, monte jusqu'à +2{,}05, puis redescend vers - : elle traverse 0 exactement deux fois. Sur ]0\,;4] : B est continue et strictement croissante, de -2 (limite) à 2{,}05. Comme 0 est entre les deux, le corollaire du TVI donne un unique x_1 \,]0\,;4[ tel que B(x_1) = 0. Sur [4\,;+[ : B est continue et strictement décroissante, de 2{,}05 à -. Il existe donc un unique x_2 > 4 tel que B(x_2) = 0. Entre les deux, B est positive : [formule] À la calculatrice, x_1 0{,}72 et x_2 9{,}98 : la production est rentable entre environ 720 et 9 980 pièces.

   x [x_1\,;x_2] [0{,}72\,;9{,}98]

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire « B(0) = -2 » pour appliquer le TVI. Le domaine est ]0\,;+[ : B n'est pas définie en 0, et le TVI demande une fonction définie et continue sur l'intervalle qu'on lui donne. Ce qui vaut -2, c'est la limite en 0^+ — et c'est elle qui autorise à conclure sur ]0\,;4]. 👉 La nuance a l'air formelle, elle ne l'est pas : sur un domaine ouvert, écrire une image au lieu d'une limite est le genre d'imprécision qui coûte des points, et qui trahit qu'on n'a pas regardé le domaine. À retenir : Le maximum d'un bénéfice s'obtient par B'(x) = 0 ; la rentabilité, elle, est une question de SIGNE — donc de TVI, branche par branche. 👉 Et toujours revenir aux unités : x = 4 ne veut rien dire tout seul, « 4 000 pièces pour 2 050 € » si.