Problème d'optimisation avec ln

Énoncé

Un industriel fabrique x milliers de pièces (x > 0). Le coût total de production (en milliers d'euros) est C(x) = x + 2 et la recette est R(x) = 5(x + 1). Le bénéfice est B(x) = R(x) - C(x) = 5(x + 1) - x - 2. a) Calculer B'(x) et résoudre B'(x) = 0. b) Dresser le tableau de variations de B sur ]0 ; +[. c) Déterminer la quantité x_0 qui maximise le bénéfice et calculer B(x_0). d) Déterminer les quantités pour lesquelles la production est rentable (B(x) 0).

Indice : Pour d), utilise le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires.

Correction

1. Étape 1 : **a)** B'(x) = 5{x+1} - 1 = 5 - (x+1){x+1} = 4 - x{x + 1}.

   B'(x) = 4 - x{x + 1}

2. Étape 2 : B'(x) = 0 4 - x = 0 x = 4. Pour x > 0 : x + 1 > 0, donc le signe de B' est celui de 4 - x.
3. Étape 3 : **b)** B'(x) > 0 sur ]0 ; 4[ et B'(x) < 0 sur ]4 ; +[. B est croissante sur ]0 ; 4] et décroissante sur [4 ; +[.
4. Étape 4 : Limites : B(0) = 5(1) - 0 - 2 = -2 et _{x +} B(x) = - (car -x domine 5(x+1) par croissance comparée).
5. Étape 5 : **c)** Maximum en x_0 = 4 : B(4) = 5(5) - 4 - 2 = 5(5) - 6 5 1{,}609 - 6 2{,}047 milliers d'euros.

   B_{} = 5(5) - 6 2{,}05

6. Étape 6 : **d)** B(0) = -2 < 0 et B(4) 2{,}05 > 0 : par le TVI, il existe x_1 ]0 ; 4[ tel que B(x_1) = 0. De même B(4) > 0 et _{+} B = - : il existe x_2 > 4 tel que B(x_2) = 0.
7. Étape 7 : La production est rentable pour x [x_1 ; x_2]. Numériquement x_1 0{,}84 et x_2 14{,}3, soit entre environ 840 et 14\,300 pièces.

   B(x) 0 x [x_1 ; x_2]