Étude complète de f(x) = x² - 2ln(x)

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 2(x) définie sur ]0 ; +[. a) Calculer les limites de f en 0^+ et en +. b) Calculer f'(x) et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet de f. d) Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet aucune solution. e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.

Indice : Pour les limites en 0^+, rappelle-toi que -2(x) +. Pour le signe de f', mets au même dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : **a)** En 0^+ : x^2 0 et -2(x) +, donc f(x) +.

   _{x 0^+} f(x) = +

2. Étape 2 : En + : f(x) = x^2(1 - 2(x){x^2}). (x){x^2} 0, donc f(x) +.

   _{x +} f(x) = +

3. Étape 3 : **b)** f'(x) = 2x - 2{x} = 2x^2 - 2{x} = 2(x^2 - 1){x} = 2(x-1)(x+1){x}.

   f'(x) = 2(x-1)(x+1){x}

4. Étape 4 : Pour x > 0 : x + 1 > 0 et x > 0, donc le signe de f'(x) est celui de x - 1. f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[ et f'(x) > 0 sur ]1 ; +[.
5. Étape 5 : **c)** f est décroissante sur ]0 ; 1] et croissante sur [1 ; +[. Minimum en x = 1 : f(1) = 1 - 2(1) = 1.

   f = f(1) = 1

6. Étape 6 : **d)** Le minimum de f est 1 > 0. Donc f(x) 1 > 0 pour tout x > 0 : l'équation f(x) = 0 n'admet **aucune solution**.
7. Étape 7 : **e)** f(1) = 1 et f'(1) = 0. La tangente au point (1 ; 1) est horizontale : y = 1.

   T : y = 1