Étude complète de f(x) = x² - 2ln(x)

Énoncé

Soit f(x) = x^2 - 2(x) définie sur ]0 ; +[. a) Calculer les limites de f en 0^+ et en +. b) Calculer f'(x) et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet de f. d) Montrer que l'équation f(x) = 0 n'admet aucune solution. e) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1.

Indice : Pour les limites en 0^+, rappelle-toi que -2(x) +. Pour le signe de f', mets au même dénominateur.

Correction

1. Étape 1 : Même trame que l'étude précédente, avec un dénouement opposé : ici l'équation f(x) = 0 n'a aucune solution, et c'est le minimum qui le démontre. 👉 C'est le pendant exact de l'exercice sur (x) x-1 : dès que le minimum d'une fonction est strictement positif, la fonction ne s'annule jamais. Un seul nombre suffit à conclure sur tout un intervalle. ⚠️ Et une vigilance sur les limites : en 0^+, le terme -2(x) tend vers + — le signe moins retourne la limite. C'est là que l'on se trompe.
2. Étape 2 : a) Les limites. En 0^+ : x^2 0 et (x) -, donc -2(x) +. [formule] En + : forme - , on factorise par le dominant x^2 : f(x) = x^2(1 - 2(x){x^2}), et (x){x^2} 0, donc la parenthèse 1. [formule]

   _{0^+} f = + ; _{+} f = +

3. Étape 3 : b) f'(x) = 2x - 2{x}. On met au même dénominateur pour lire le signe : f'(x) = 2x^2 - 2{x} = 2(x^2-1){x} = 2(x-1)(x+1){x} Sur ]0\,;+[ : x > 0 et x + 1 > 0, donc le signe de f' est celui de x-1 : f' < 0 sur ]0\,;1[ et f' > 0 sur ]1\,;+[

   f'(x) = 2(x-1)(x+1){x}

4. Étape 4 : c) Le tableau. | x | 0 | | 1 | | + | |:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:| | f' | | - | 0 | + | | | f | + | | 1 | | + | Minimum global en x = 1 : f(1) = 1^2 - 2(1) = 1 - 0 = 1.

   f = f(1) = 1

5. Étape 5 : d) Le minimum vaut 1, donc pour tout x > 0 : [formule] Une fonction qui reste toujours supérieure à 1 ne peut pas valoir 0 : [formule] 👉 On n'a pas eu besoin du TVI — il sert à prouver qu'une solution existe, pas qu'elle n'existe pas. Ici c'est le minimum, et lui seul, qui tranche. e) f(1) = 1 et f'(1) = 0 (le minimum), donc la tangente au point (1\,;1) est horizontale : [formule]

   f(x) 1 > 0 aucune solution ; T : y = 1

6. Étape 6 : L'erreur classique : Écrire _{x 0^+} f(x) = - parce que (x) -. Le coefficient est -2 : il retourne la limite. Cette étourderie change tout le tableau — on croirait la fonction décroissante depuis -, donc traversant 0, et l'on conclurait à l'existence d'une solution. 👉 Le réflexe : écrire la limite de chaque terme séparément, signe compris, avant de les combiner. À retenir : Pour montrer qu'une équation n'a pas de solution, il suffit d'un extremum du bon côté — le TVI n'a rien à y faire. 👉 Et un extremum donne une tangente horizontale : les questions c) et e) se contrôlent l'une l'autre.