Étude de f(x) = ln(x)/x – tangente et position

Énoncé

Soit f(x) = (x){x} définie sur ]0 ; +[. a) Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse e. b) Étudier la position de la courbe de f par rapport à T. c) Déterminer l'unique solution entière de f(x) > 1{3} sur ]0 ; e[.

Indice : Pour a), utilise f(e) et f'(e). Pour b), étudie le signe de f(x) - T(x). Pour c), teste des valeurs entières.

Correction

1. Étape 1 : Trois questions qui se suivent, et la tangente horizontale de a) est ce qui rend b) facile. 👉 Quand f'(a) = 0, la tangente est horizontale : son équation se réduit à y = f(a). Étudier la position de la courbe par rapport à elle revient alors à comparer f(x) à une constante — donc à retrouver un extremum. Position d'une courbe par rapport à une droite : On étudie le signe de la différence f(x) - T(x) : signe + la courbe est au-dessus ; signe - en dessous.
2. Étape 2 : a) f(x) = (x){x}, donc f(e) = (e){e} = 1{e}. La dérivée (calculée par la formule du quotient) : f'(x) = {1{x} x - (x)}{x^2} = 1-(x){x^2} En x = e : (e) = 1, donc f'(e) = 1-1{e^2} = 0. [formule] 👉 La tangente est horizontale — ce qui signale déjà que e est un extremum de f.

   T : y = 1{e}

3. Étape 3 : b) On étudie le signe de la différence : f(x) - 1{e} = (x){x} - 1{e} = e(x) - x{ex} Comme e et x sont strictement positifs, ex > 0 : le signe est celui du numérateur. On pose donc (x) = e(x) - x et on l'étudie : '(x) = e{x} - 1 = e-x{x} ' est du signe de e - x : positive avant e, négative après. Donc atteint un maximum en x = e : (e) = e(e) - e = e - e = 0

   (e) = 0 =

4. Étape 4 : Le maximum de vaut 0, donc (x) 0 pour tout x > 0, et par conséquent : [formule] La courbe est entièrement SOUS sa tangente, qu'elle ne touche qu'au point (e\,;1{e}). 👉 Ce résultat est cohérent avec a) : la tangente étant horizontale et la courbe restant dessous, 1{e} est le maximum global de f. Les deux questions se confirment l'une l'autre.

   f(x) 1{e} pour tout x > 0

5. Étape 5 : c) On cherche les entiers de ]0\,;e[ vérifiant f(x) > 1{3}. Comme e 2{,}718, les seuls entiers de cet intervalle sont 1 et 2. Il suffit donc de les tester : f(1) = (1){1} = 0, et 0 < 1{3} ✗ f(2) = (2){2} 0{,693}{2} 0{,}347, et 0{,}347 > 0{,}333 ✓ [formule] 👉 L'intervalle est borné, donc les candidats entiers sont en nombre fini : on peut tous les essayer. C'est ce qui rend la question élémentaire malgré son apparence.

   x = 2

6. Étape 6 : L'erreur classique : Étudier la position en comparant f et T « à vue », ou en testant quelques valeurs. Tester ne démontre rien : il faut le signe de la différence sur tout l'intervalle. Et le geste qui rend ce signe lisible est la mise au même dénominateur, qui isole un numérateur dont on sait étudier le signe. À retenir : Position = signe de la différence. Mettre au même dénominateur, écarter le dénominateur s'il garde un signe constant, étudier le numérateur. 👉 Et une tangente horizontale signale un extremum : la position de la courbe par rapport à elle en est la confirmation.