Étude de f(x) = ln(x)/x – tangente et position

Énoncé

Soit f(x) = (x){x} définie sur ]0 ; +[. a) Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe de f au point d'abscisse e. b) Étudier la position de la courbe de f par rapport à T. c) Déterminer l'unique solution entière de f(x) > 1{e} sur ]0 ; e[.

Indice : Pour a), utilise f(e) et f'(e). Pour b), étudie le signe de f(x) - T(x). Pour c), teste des valeurs entières.

Correction

1. Étape 1 : **a)** f(e) = 1{e}. f'(x) = 1 - (x){x^2}, donc f'(e) = 1 - 1{e^2} = 0.
2. Étape 2 : La tangente au point (e ; 1{e}) est horizontale : T : y = 1{e}.

   T : y = 1{e}

3. Étape 3 : **b)** f(x) - 1{e} = (x){x} - 1{e} = e(x) - x{ex}. Posons (x) = e(x) - x. '(x) = e{x} - 1 = e - x{x}. '(x) = 0 x = e, max en x = e : (e) = e - e = 0. Donc (x) 0 : la courbe est **sous** la tangente.
4. Étape 4 : **c)** On cherche n N^*, n < e 2{,}718, tel que f(n) > 1{e}. f(1) = 0 < 1{e}, f(2) = 2{2} 0{,}347 < 1{e} 0{,}368. Aucun entier de ]0 ; e[ ne vérifie f(x) > 1{e}.

   S N^* ]0;e[ =