Limites avec ln (croissances comparées)

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} [(x)]^2{x} b) _{x +} (3x - 5(x)) c) _{x 0^+} x\,(x) d) _{x +} (2x+1){x}

Indice : Utilise les résultats de croissance comparée : (x){x^} 0 et x^ (x) 0 en 0^+. Pense à factoriser ou à poser un changement de variable.

Correction

1. Étape 1 : Quatre limites indéterminées. Aucune n'est de la forme de référence telle quelle : chacune demande un geste pour s'y ramener. Les trois gestes : Substitution — poser t = (x) ou t = x pour retrouver une forme connue ; factorisation par le terme dominant — pour une forme - ; décomposition en produit de deux facteurs dont on connaît chacun la limite. 👉 Le geste à choisir se lit sur la forme : - appelle la factorisation, {} la décomposition ou la substitution.
2. Étape 2 : a) [(x)]^2{x} : forme +{+}. On substitue t = (x), donc x = e^t, et t + quand x + : [formule] Or e^t{t^2} + (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance), donc son inverse tend vers 0 : [formule] 👉 La substitution t = x transforme une croissance comparée en en une croissance comparée en — c'est le pont entre les deux familles de limites du programme.

   _{x +} [(x)]^2{x} = 0

3. Étape 3 : b) 3x - 5(x) : forme - . On factorise par le terme dominant x : 3x - 5(x) = x(3 - 5(x){x}) Comme (x){x} 0, la parenthèse tend vers 3, et x + : [formule]

   _{x +}(3x - 5 x) = +

4. Étape 4 : c) x\,(x) en 0^+ : forme 0 (-). On substitue t = x, donc x = t^2, et t 0^+ quand x 0^+ : x\,(x) = t(t^2) = t 2(t) = 2\,t(t) Or t(t) 0 en 0^+ : [formule] 👉 Le geste clé est (t^2) = 2(t) — une règle du logarithme employée pour lever une indétermination, pas pour simplifier une écriture.

   _{x 0^+} x\,(x) = 0

5. Étape 5 : d) (2x+1){x} : forme +{+}. L'argument du logarithme est 2x+1 et non x : on fait apparaître la forme de référence en multipliant et divisant par 2x+1 : [formule] Le premier facteur est X{X} avec X = 2x+1 +, donc il tend vers 0. Le second tend vers 2. [formule]

   _{x +} (2x+1){x} = 0

6. Étape 6 : L'erreur classique : Appliquer X{X} 0 en d) alors que le dénominateur est x et non 2x+1. La formule de référence exige le même argument en haut et en bas. C'est pour cela qu'on multiplie et divise par 2x+1 : on fabrique la forme exacte, et le reste devient un facteur dont la limite est simple. À retenir : Trois gestes, et le choix se lit sur la forme : substituer (t = x ou t = x), factoriser par le dominant, décomposer en deux facteurs. 👉 Et t = (x) est le pont entre les croissances comparées du et celles de l'exponentielle : [ x]^n{x} devient t^n{e^t}.