Limites avec ln (croissances comparées)

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} [(x)]^2{x} b) _{x +} (3x - 5(x)) c) _{x 0^+} x\,(x) d) _{x +} (2x+1){x}

Indice : Utilise les résultats de croissance comparée : (x){x^} 0 et x^ (x) 0 en 0^+. Pense à factoriser ou à poser un changement de variable.

Correction

1. Étape 1 : **a)** On pose t = (x), x = e^t. [(x)]^2{x} = t^2{e^t} 0 car l'exponentielle domine tout polynôme.

   = 0

2. Étape 2 : **b)** On factorise par x : 3x - 5(x) = x(3 - 5(x){x}). Or (x){x} 0, donc la parenthèse 3 et x +.

   = +

3. Étape 3 : **c)** On pose t = x, x = t^2, quand x 0^+, t 0^+. x\,(x) = t(t^2) = 2t(t) 0.

   = 0

4. Étape 4 : **d)** (2x+1){x} = (2x+1){2x+1} 2x+1{x}. Or (X){X} 0 avec X = 2x+1 + et 2x+1{x} 2.

   = 0 2 = 0