Dérivées de composées avec ln

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction sur son domaine de définition : a) f(x) = (x^2 - 4) pour x > 2 b) g(x) = [(x)]^3 pour x > 0 c) h(x) = (x){x^2} pour x > 0 d) k(x) = (x+1{x-1}) pour x > 1

Indice : Utilise ( u)' = u'{u}, la dérivée d'une puissance composée (v^n)' = nv'v^{n-1}, et la formule du quotient.

Correction

1. Étape 1 : Quatre dérivées, et la dernière se traite sans dériver un quotient — c'est tout l'intérêt de l'exercice. Avant de dériver un , essayer de le décomposer : [formule] 👉 Une différence se dérive terme à terme ; un quotient demande la formule complète. Passer de l'un à l'autre avant de dériver fait disparaître la moitié du travail. ⚠️ Et cette décomposition n'est licite que sur le domaine donné : en d), x > 1 garantit que x+1 et x-1 sont tous deux positifs, donc que les deux existent séparément.
2. Étape 2 : a) f(x) = (x^2-4) sur x > 2 : composée simple. u(x) = x^2 - 4, donc u'(x) = 2x : [formule] 👉 Le domaine x > 2 garantit x^2 - 4 > 0, donc que le logarithme existe et que la dérivée est bien définie.

   f'(x) = 2x{x^2-4}

3. Étape 3 : b) g(x) = [(x)]^3 : attention, c'est le logarithme qui est élevé au cube, pas l'inverse. C'est donc une composée de la forme v^3 avec v = (x), et (v^3)' = 3v'v^2 : [formule] ⚠️ Ne pas confondre avec (x^3), qui vaut 3(x) et se dérive en 3{x}. Les deux écritures se ressemblent et donnent des dérivées différentes.

   g'(x) = 3[(x)]^2{x}

4. Étape 4 : c) h(x) = (x){x^2} : ici le quotient est inévitable. (u{v})' = u'v - uv'{v^2} avec u = (x) et v = x^2 : h'(x) = {1{x} x^2 - (x) 2x}{x^4} = x - 2x(x){x^4} On simplifie par x — geste systématique après une dérivée de quotient : [formule]

   h'(x) = 1-2(x){x^3}

5. Étape 5 : d) k(x) = \!(x+1{x-1}) sur x > 1 : c'est ici qu'on décompose. k(x) = (x+1) - (x-1) Chaque terme se dérive seul : k'(x) = 1{x+1} - 1{x-1} = (x-1)-(x+1){(x+1)(x-1)} [formule] 👉 Le contraste vaut d'être mesuré : sans décomposition, il aurait fallu la formule u'{u} avec u lui-même un quotient — donc dériver un quotient, puis diviser par un quotient. Trois lignes de calcul au lieu d'une.

   k'(x) = -2{x^2-1}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Confondre [(x)]^3 et (x^3). [ x]^3 est un cube de logarithme : dérivée 3[ x]^2{x}. (x^3) = 3 x est un logarithme de cube : dérivée 3{x}. 👉 Le contrôle numérique tranche en dix secondes : en x = e, [ e]^3 = 1 tandis que (e^3) = 3. Deux fonctions différentes. À retenir : Décomposer avant de dériver : \!(a{b}) = a - b transforme un quotient en différence. 👉 Et après toute dérivée de quotient, chercher la simplification : le x de c) se simplifie et fait passer de x^4 à x^3.