Dérivées de composées avec ln

Énoncé

Calculer la dérivée de chaque fonction sur son domaine de définition : a) f(x) = (x^2 - 4) pour x > 2 b) g(x) = [(x)]^3 pour x > 0 c) h(x) = (x){x^2} pour x > 0 d) k(x) = (x+1{x-1}) pour x > 1

Indice : Utilise ( u)' = u'{u}, la dérivée d'une puissance composée (v^n)' = nv'v^{n-1}, et la formule du quotient.

Correction

1. Étape 1 : **a)** u(x) = x^2 - 4, u'(x) = 2x. f'(x) = 2x{x^2 - 4}.

   f'(x) = 2x{x^2 - 4}

2. Étape 2 : **b)** g(x) = v^3 avec v = (x). g'(x) = 3[(x)]^2 1{x} = 3[(x)]^2{x}.

   g'(x) = 3[(x)]^2{x}

3. Étape 3 : **c)** Quotient : h'(x) = {1{x} x^2 - (x) 2x}{x^4} = x - 2x(x){x^4} = 1 - 2(x){x^3}.

   h'(x) = 1 - 2(x){x^3}

4. Étape 4 : **d)** k(x) = (x+1) - (x-1). k'(x) = 1{x+1} - 1{x-1} = (x-1)-(x+1){(x+1)(x-1)} = -2{x^2 - 1}.

   k'(x) = -2{x^2 - 1}