Inéquations avec ln

Énoncé

Résoudre dans R les inéquations suivantes : a) (2x + 1) (x + 5) b) (x - 1) > 2 c) (x) + (3) < (12)

Indice : est strictement croissante : (A) (B) A B (pour A > 0, B > 0). N'oublie pas d'intersecter avec le domaine.

Correction

1. Étape 1 : Trois inéquations. La croissance de conserve le sens de l'inégalité, mais le domaine reste le juge final : la solution est toujours une intersection. Résoudre une inéquation en : 1. domaine — tous les arguments strictement positifs ; 2. on simplifie par croissance : A < B A < B ; 3. on croise avec le domaine. 👉 Quand il y a deux logarithmes, le domaine est l'intersection de leurs deux conditions : c'est la plus contraignante qui l'emporte.
2. Étape 2 : a) Domaine : 2x+1 > 0 et x+5 > 0, soit x > -1{2} et x > -5. La plus contraignante est la première : [formule] Par croissance de : (2x+1) (x+5) 2x + 1 x + 5 x 4 Intersection : S = ]-1{2}\,;4]

   S = ]-1{2}\,;4]

3. Étape 3 : b) Domaine : x - 1 > 0 x > 1. Ici le membre de droite n'est pas un : on passe à l'exponentielle, ce qui est licite car est croissante elle aussi : (x-1) > 2 x - 1 > e^2 x > e^2 + 1 Intersection : e^2 + 1 8{,}39 > 1, donc le domaine n'ajoute aucune contrainte. [formule]

   S = \,]e^2+1\,;+[

4. Étape 4 : c) Domaine : x > 0. On rassemble d'abord le membre de gauche : (x) + (3) = (3x) (3x) < (12) 3x < 12 x < 4 Intersection avec x > 0 : [formule] 👉 Ici le domaine change vraiment la réponse : sans lui on écrirait ]-\,;4[, où le logarithme n'existe même pas.

   S = \,]0\,;4[

5. Étape 5 : L'erreur classique : Croiser avec le domaine de la forme transformée au lieu de celui de départ. En c), après rassemblement il ne reste que (3x), dont le domaine est aussi x > 0 : ici cela ne change rien. Mais en a), l'inégalité transformée 2x+1 x+5 n'a plus aucun logarithme — son « domaine » serait R tout entier, et l'on annoncerait ]-\,;4]. 👉 Écrire le domaine en premier, sur une ligne à part, avant toute transformation. À retenir : Avec deux logarithmes, le domaine est l'intersection de leurs conditions — la plus contraignante gagne. 👉 Et la solution finale est toujours une intersection : ce que donne le calcul, inter le domaine.