Équations simples avec ln

Énoncé

Résoudre dans R les équations suivantes : a) (x + 3) = (7) b) (x) + (x + 2) = (8) c) 2(x) = (9)

Indice : Utilise (a) = (b) a = b (avec a > 0, b > 0) et les propriétés (a) + (b) = (ab), n(a) = (a^n).

Correction

1. Étape 1 : Trois équations, et trois structures différentes — c'est la structure qui dicte la méthode, pas l'apparence. Reconnaître la structure : (A) = (B) on enlève les deux : A = B ; (A) = k on passe à l'exponentielle : A = e^k ; plusieurs on rassemble d'abord, puis on retombe sur l'un des deux cas. ⚠️ Le domaine se calcule sur l'énoncé de DÉPART, jamais sur l'équation transformée. En b), rassembler les deux fait apparaître x(x+2), qui est positif pour x < -2 aussi — alors que (x) interdit déjà x 0. Le domaine de départ est le bon.
2. Étape 2 : a) Structure (A) = (B). Domaine : x + 3 > 0 x > -3. (x+3) = (7) x + 3 = 7 x = 4 Tri : 4 > -3 ✓. [formule]

   S = \{4\}

3. Étape 3 : b) Plusieurs : on commence par le domaine de départ. x > 0 et x + 2 > 0, donc x > 0 (la seconde condition est moins forte). On rassemble : (x) + (x+2) = (x(x+2)), donc (x(x+2)) = (8) x^2 + 2x = 8 x^2 + 2x - 8 = 0 = 4 + 32 = 36, = 6 x_1 = -2+6{2} = 2 et x_2 = -2-6{2} = -4

   x^2 + 2x - 8 = 0 x \{2\,;-4\}

4. Étape 4 : Le tri, et c'est ici que le domaine sert : x_1 = 2 > 0 ✓ retenu x_2 = -4 < 0 ✗ rejeté car (-4) n'existe pas [formule] 👉 Vérification : (2) + (4) = (8) ✓ — puisque 2 4 = 8. ⚠️ Et voici pourquoi le domaine doit venir de l'énoncé de départ : dans l'équation transformée, x(x+2) = -4 (-2) = 8 > 0, donc -4 y paraîtrait acceptable. C'est l'énoncé initial qui le rejette.

   S = \{2\}

5. Étape 5 : c) Domaine : x > 0. 2(x) = (x^2) — cette égalité vaut parce que x > 0 — donc (x^2) = (9) x^2 = 9 x = 3 \ ou \ x = -3 Tri : -3 < 0, rejeté. [formule] ℹ️ On peut aussi conclure directement : 2(x) = (9) (x) = 9{2} = 2 3{2} = (3), donc x = 3 — sans jamais faire apparaître de solution parasite.

   S = \{3\}

6. Étape 6 : L'erreur classique : Oublier le tri, et annoncer S = \{2\,; -4\} en b) ou S = \{3\,; -3\} en c). Le second degré rend deux racines ; le domaine du logarithme n'en autorise souvent qu'une. C'est l'erreur la plus fréquente du chapitre, et elle est indétectable au calcul : il faut y revenir exprès. 👉 Le contrôle : remplacer chaque solution dans l'équation de départ. Avec x = -4, on écrirait (-4) — qui n'existe pas. À retenir : Structure domaine résolution tri. Le tri est une étape à part entière, pas une formalité. 👉 Et le domaine se lit sur l'énoncé de départ : rassembler des peut élargir l'ensemble où l'expression a un sens, donc laisser passer des solutions parasites.