Étude complète de f(x) = ln(x)/x

Énoncé

Soit f(x) = (x){x} définie sur ]0 ; +[. a) Calculer les limites de f en 0^+ et en +. b) Calculer f'(x) et étudier son signe. c) Dresser le tableau de variations complet de f. d) Montrer que l'équation f(x) = 1{3} admet exactement deux solutions.

Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du quotient. Pour d), utilise le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires.

Correction

1. Étape 1 : **a)** En 0^+ : (x) - et x 0^+, donc f(x) -.
2. Étape 2 : En + : (x){x} 0 par croissance comparée.

   _{x +} f(x) = 0

3. Étape 3 : **b)** f'(x) = {1{x} x - (x) 1}{x^2} = 1 - (x){x^2}.
4. Étape 4 : f'(x) = 0 1 - (x) = 0 (x) = 1 x = e. Pour x > 0 : x^2 > 0, donc le signe de f'(x) est celui de 1 - (x).
5. Étape 5 : f'(x) > 0 si (x) < 1, soit 0 < x < e. f'(x) < 0 si x > e.
6. Étape 6 : **c)** f croissante sur ]0 ; e], décroissante sur [e ; +[. Maximum en x = e : f(e) = (e){e} = 1{e} 0{,}368.

   f(e) = 1{e}

7. Étape 7 : **d)** On a 1{3} < 1{e} 0{,}368. Sur ]0 ; e], f est continue et croissante de - à 1{e}, donc par le TVI il existe une unique solution x_1 ]0 ; e[.
8. Étape 8 : Sur [e ; +[, f est continue et décroissante de 1{e} à 0, donc par le TVI il existe une unique solution x_2 ]e ; +[. L'équation admet exactement deux solutions.