Étude complète de f(x) = ln(x)/x
Énoncé
Soit f(x) = (x){x} définie sur ]0 ; +[.
a) Calculer les limites de f en 0^+ et en +.
b) Calculer f'(x) et étudier son signe.
c) Dresser le tableau de variations complet de f.
d) Montrer que l'équation f(x) = 1{3} admet exactement deux solutions.
Indice : Pour la dérivée, utilise la formule du quotient. Pour d), utilise le tableau de variations et le théorème des valeurs intermédiaires.
Correction
- Étape 1 : Une étude complète, et une question d) qui emploie le résultat de tout ce qui précède.
Compter les solutions de f(x) = k :
1. le tableau de variations complet, limites comprises ;
2. on découpe en intervalles de monotonie ;
3. sur chacun, le corollaire du TVI donne au plus une solution — et exactement une si k est entre les deux valeurs extrêmes.
👉 Le nombre de solutions se lit alors sur le tableau : autant que de branches traversant la hauteur k. Il n'y a rien à deviner.
⚠️ Le TVI dans cette forme exige la stricte monotonie en plus de la continuité : c'est elle qui donne l'unicité, la continuité seule ne donnant que l'existence.
- Étape 2 : a) Les limites.
En 0^+ : (x) - et x 0^+. Le quotient {très négatif}{très petit positif} tend vers - — il n'y a pas d'indétermination ici, les deux effets vont dans le même sens.
[formule]
En + : c'est la croissance comparée de référence.
[formule]
👉 La droite y = 0 est donc asymptote horizontale en +, et l'axe des ordonnées asymptote verticale.
_{0^+} f = - ; _{+} f = 0
- Étape 3 : b) Formule du quotient avec u = (x) et v = x :
f'(x) = {1{x} x - (x) 1}{x^2} = 1-(x){x^2}
Le dénominateur x^2 est strictement positif sur ]0\,;+[, donc le signe de f' est celui de 1 - (x) :
1 - (x) > 0 (x) < 1 x < e
(la dernière équivalence emploie la croissance de )
f'(x) = 1-(x){x^2}
- Étape 4 : c) Le tableau de variations.
| x | 0 | | e | | + |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| f' | | + | 0 | - | |
| f | - | | 1{e} | | 0 |
Maximum global en x = e : f(e) = (e){e} = 1{e} 0{,}368.
f = f(e) = 1{e} 0{,}368
- Étape 5 : d) On compare le seuil au maximum :
[formule]
La hauteur 1{3} passe donc sous le sommet : les deux branches la traversent.
Branche croissante ]0\,;e] : f y est continue et strictement croissante, de - à 1{e}. Comme 1{3} \,]-\,;1{e}[, le corollaire du TVI donne une unique solution x_1 \,]0\,;e[.
Branche décroissante [e\,;+[ : f y est continue et strictement décroissante, de 1{e} à 0. Comme 1{3} \,]0\,;1{e}[, il existe une unique solution x_2 \,]e\,;+[.
[formule]
ℹ️ Numériquement x_1 1{,}86 et x_2 4{,}54.
x_1 1{,}86 et x_2 4{,}54
- Étape 6 : L'erreur classique :
Appliquer le TVI sur tout ]0\,;+[ d'un coup, et conclure « une solution ».
Sur l'intervalle entier, f n'est pas monotone : elle monte puis descend. La forme du théorème qui donne l'unicité ne s'y applique pas, et l'on manque une solution sur deux.
👉 Découper aux extremums est donc obligatoire, pas facultatif. Et le nombre de morceaux donne le nombre maximal de solutions.
À retenir :
Le nombre de solutions se lit sur le tableau de variations : une par branche traversant la hauteur k.
👉 Et la comparaison décisive est k contre l'extremum : ici 1{3} < 1{e} donne deux solutions ; 1{e} exactement en donnerait une seule ; au-dessus, aucune.