Limite avec croissance comparée

Énoncé

Calculer les limites suivantes : a) _{x +} (x){x^2} b) _{x +} (x^2 - 3(x)) c) _{x 0^+} x^2 (x)

Indice : Utilise le résultat de croissance comparée (x){x} 0 quand x +, et x(x) 0 quand x 0^+.

Correction

1. Étape 1 : Ces trois limites sont toutes des formes indéterminées, et toutes se lèvent avec le même théorème. Croissances comparées : [formule] 👉 Ce que ces deux limites disent, en une phrase : x l'emporte toujours sur (x). En +, x croît bien plus vite ; en 0^+, x tend vers 0 bien plus vite que (x) ne part vers -. ⚠️ Et la méthode est toujours la même : se ramener à l'une de ces deux formes par une factorisation ou une décomposition. Il n'y a rien d'autre à inventer.
2. Étape 2 : a) (x){x^2} : la forme est +{+}, indéterminée. On décompose pour faire apparaître la forme de référence : [formule] [formule]

   _{x +} (x){x^2} = 0

3. Étape 3 : b) x^2 - 3(x) : la forme est + - , indéterminée. On factorise par le terme dominant, ici x^2 : x^2 - 3(x) = x^2(1 - 3(x){x^2}) D'après a), (x){x^2} 0, donc la parenthèse tend vers 1 - 0 = 1. Et x^2 +, donc le produit tend vers + 1 : [formule] 👉 Factoriser par le terme dominant est le geste standard pour une forme - : il transforme la différence en produit, où l'indétermination disparaît.

   _{x +}(x^2 - 3 x) = +

4. Étape 4 : c) x^2(x) en 0^+ : la forme est 0 (-), indéterminée. On isole la forme de référence x(x) : [formule] Comme x 0 et x(x) 0 : [formule]

   _{x 0^+} x^2(x) = 0

5. Étape 5 : L'erreur classique : Conclure « (x) - donc x^2 - 3(x) - » en b). C'est traiter une forme indéterminée comme si elle ne l'était pas. Les deux termes partent bien dans des directions opposées — c'est précisément ce qui rend la limite indéterminée, et c'est x^2 qui gagne. 👉 Le réflexe qui protège : nommer la forme avant de conclure. Écrire « forme - , indéterminée » oblige à chercher une transformation au lieu de trancher au jugé. À retenir : x l'emporte sur (x), aux deux bouts : x{x} 0 en +, et x x 0 en 0^+. 👉 Et la méthode est unique : se ramener à l'une de ces deux formes — en décomposant un quotient, ou en factorisant par le terme dominant.